Урок 18. Возведение в степень произведения и степени

Алгебра, 7 класс · §7 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Как возвести в степень произведение: (ab)ⁿ.
• Как возвести степень в степень: (aᵐ)ⁿ — и почему здесь показатели перемножаются.
• Как не путать это правило с тем, что было на прошлом уроке.

📖 Разбираемся в теме

У нас уже есть два правила: степени умножают, складывая показатели, и делят, вычитая. Сегодня добавим ещё два — про возведение в степень. И снова всё начнётся с того, что мы просто распишем запись и посмотрим, что получится.

Степень произведения

Что значит (ab)³? Это произведение ab, взятое множителем три раза:

(ab)³ = (ab) · (ab) · (ab)

А умножение можно переставлять как угодно. Соберём отдельно все «a» и все «b»:

(ab)³ = a · a · a · b · b · b = a³ · b³

Здорово! Каждый множитель просто возвели в эту степень.

📌 Правило: При возведении произведения в степень в эту степень возводят каждый множитель: (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ.

Например, (2x)³ = 2³ · x³ = 8x³, и (xy)⁵ = x⁵y⁵.

💡 Лайфхак: Степень «раздаётся» каждому множителю в скобках, как конфеты — поровну всем. Не забудь возвести в степень и числовой множитель: в (3a)² тройка тоже идёт в квадрат, получается 9a², а не 3a².

⚠️ Частая ошибка: Это правило только для произведения! Для суммы оно НЕ работает: (a + b)² ≠ a² + b². Проверь: (2 + 3)² = 25, а 2² + 3² = 4 + 9 = 13. Совсем разные числа!

⏱ Попробуй сам: возведи (5y)² и (abc)³.

Готов? (5y)² = 25y². А (abc)³ = a³b³c³ (правило работает и для трёх множителей).

Возведение степени в степень

Теперь второй случай. Что такое (a²)³ — степень, возведённая ещё в степень? Распишем:

(a²)³ = a² · a² · a² = a²⁺²⁺² = a⁶

Множитель a² взяли три раза, и показатели сложились: 2 + 2 + 2 = 6. Но три раза прибавить 2 — это то же самое, что умножить 2 · 3 = 6! Значит, показатели можно просто перемножить.

📌 Правило: При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.

Например, (x³)⁴ = x¹² и (2⁵)² = 2¹⁰.

⚠️ Частая ошибка: Не путай два правила!

• Умножаешь степени → показатели складываешь: a² · a³ = a⁵.
• Возводишь степень в степень → показатели умножаешь: (a²)³ = a⁶. Разница в скобках: a²·a³ — это умножение, (a²)³ — возведение в степень.

⏱ Попробуй сам: упрости (a⁴)⁵ и сравни a²·a⁴ с (a²)⁴.

Готов? (a⁴)⁵ = a²⁰. А a²·a⁴ = a⁶ (сложили), но (a²)⁴ = a⁸ (умножили) — результаты разные!

🤔 А знаешь ли ты? Все четыре правила степеней можно объединять в одной задаче. Например, (2a³)⁴ = 2⁴ · (a³)⁴ = 16 · a¹² = 16a¹². Сначала раздали степень каждому множителю, потом возвели степень в степень.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Возведи в степень: (3x)².

Решение. Степень получает каждый множитель: 3² · x² = 9x².

Ответ: 9x².

Пример 2. Возведи в степень: (abc)⁴.

Решение. Каждый множитель в четвёртую степень: a⁴b⁴c⁴.

Ответ: a⁴b⁴c⁴.

Пример 3. Упрости: (y⁵)³.

Решение. Степень в степень — показатели перемножаем: 5 · 3 = 15.

Ответ: y¹⁵.

Пример 4. Упрости: (a²)⁴ · a³.

Решение. Сначала возведение степени в степень: (a²)⁴ = a⁸. Теперь умножение степеней — показатели складываем: a⁸ · a³ = a¹¹.

Ответ: a¹¹.

Пример 5. Возведи в степень: (2x³)⁵.

Решение. Степень получает каждый множитель: 2⁵ · (x³)⁵. Считаем: 2⁵ = 32, а (x³)⁵ = x¹⁵ (показатели 3 · 5 = 15).

Ответ: 32x¹⁵.

Пример 6. Упрости: (x²)³ · (x⁴)².

Решение. Каждую скобку возводим в степень: (x²)³ = x⁶ и (x⁴)² = x⁸. Теперь перемножаем степени — показатели складываем: x⁶ · x⁸ = x¹⁴.

Ответ: x¹⁴.

💡 Запомни главное

• Степень произведения: (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ (степень получает каждый множитель).
• Степень в степени: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (показатели перемножаем).
• Для суммы правило не годится: (a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ.
• Не путай: умножение степеней — складываем показатели; возведение в степень — умножаем.

📝 Домашнее задание

1. Возведи в степень: (4x)².
2. Возведи в степень: (xyz)².
3. Упрости: (a³)⁵.
4. Упрости: (2⁴)².
5. Возведи в степень: (3a²)³.
6. Упрости: (b³)² · b⁵.
7. Упрости: (c⁴)³ : c⁷.
8. Возведи в степень: (5xy²)².
9. ⭐ Упрости: (a²)⁴ · (a³)² : a¹³.