Урок 19. Одночлен и его стандартный вид

Алгебра, 7 класс · §8 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое одночлен и какие выражения им НЕ являются.
• Что такое стандартный вид и коэффициент одночлена.
• Как перемножать одночлены и возводить их в степень.

📖 Разбираемся в теме

Ты уже умеешь работать со степенями. Теперь соберём из них «кирпичики», из которых строится почти вся алгебра, — одночлены. Звучит сложно, но на деле ты с ними уже давно знаком.

Посмотри на эти выражения:

5x, −3a²b, 7, x³, ½xy²

Что у них общего? Все они — это произведения чисел, переменных и их степеней. Никакого сложения, вычитания или деления на переменную — только умножение и степени.

📌 Правило: Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней. Отдельное число или одна переменная — тоже одночлен.

А вот что одночленами не является: x + 5 (есть сложение), a − b (есть вычитание), 3/x (деление на переменную). Как только появляется «+», «−» между частями или переменная в знаменателе — это уже не одночлен.

💡 Лайфхак: Одночлен = «одно слагаемое». Если в выражении есть знаки + или − на «верхнем уровне» — значит, слагаемых несколько, и это уже не одночлен.

Стандартный вид одночлена

Один и тот же одночлен можно записать по-разному. Например, 3 · x · 2 · x — тут двойка и тройка разбросаны, а икс встречается дважды. Наведём порядок: перемножим числа (3 · 2 = 6) и соберём одинаковые буквы в степень (x · x = x²). Получим аккуратное 6x². Вот это и есть стандартный вид.

📌 Правило: Стандартный вид одночлена — это запись, в которой на первом месте стоит один числовой множитель (коэффициент), а за ним — степени разных переменных. Например, в одночлене 6x² коэффициент равен 6.

Несколько примеров коэффициентов:

• В −5a³ коэффициент равен −5.
• В x²y коэффициент равен 1 (единицу обычно не пишут).
• В −ab коэффициент равен −1.

⚠️ Частая ошибка: Если перед одночленом нет числа, коэффициент НЕ ноль, а единица (или −1, если стоит минус). Запись a²b означает 1·a²b, а −a²b означает (−1)·a²b.

⏱ Попробуй сам: приведи к стандартному виду 4 · a · 3 · a · b и назови коэффициент.

Готов? Числа: 4 · 3 = 12. Буквы: a · a = a², b остаётся. Получаем 12a²b, коэффициент 12.

Умножение одночленов

Чтобы перемножить одночлены, действуем по знакомой схеме: отдельно числа, отдельно — степени с одинаковыми основаниями (показатели складываем).

📌 Правило: Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их коэффициенты и перемножить степени с одинаковыми основаниями. Результат записывают в стандартном виде.

Например: 3x² · 4x³ = (3 · 4) · (x² · x³) = 12x⁵.

Возведение одночлена в степень

Здесь работает правило степени произведения: степень получает каждый множитель, в том числе и коэффициент.

📌 Правило: Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести в эту степень его коэффициент и каждую переменную (показатели перемножить).

Например: (2x³)⁴ = 2⁴ · (x³)⁴ = 16x¹². Не забудь возвести в степень и число!

🤔 А знаешь ли ты? Если коэффициент отрицательный, не забудь правило знаков. (−2a)³ = (−2)³ · a³ = −8a³ (нечётная степень — минус), а (−2a)² = (−2)² · a² = 4a² (чётная — плюс).

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Является ли одночленом выражение 7a²b? А выражение 7a² + b?

Решение. 7a²b — это произведение числа и степеней, значит это одночлен. А в 7a² + b есть знак «+» — это сумма двух слагаемых, не одночлен.

Ответ: 7a²b — одночлен; 7a² + b — нет.

Пример 2. Приведи к стандартному виду: 2 · a · 5 · a · a. Назови коэффициент.

Решение. Перемножим числа: 2 · 5 = 10. Соберём буквы: a · a · a = a³. Получаем 10a³.

Ответ: 10a³, коэффициент 10.

Пример 3. Назови коэффициент одночлена: −x³y².

Решение. Перед буквами стоит только минус, а это значит −1.

Ответ: −1.

Пример 4. Перемножь одночлены: 4x²y · 3xy³.

Решение. Коэффициенты: 4 · 3 = 12. Степени x: x² · x = x³. Степени y: y · y³ = y⁴. Собираем: 12x³y⁴.

Ответ: 12x³y⁴.

Пример 5. Возведи в степень: (3a²b)³.

Решение. Каждый множитель в куб: 3³ = 27, (a²)³ = a⁶, b³. Получаем 27a⁶b³.

Ответ: 27a⁶b³.

Пример 6. Упрости: (−2x³)² · 5x.

Решение. Сначала степень: (−2x³)² = (−2)² · (x³)² = 4x⁶ (чётная степень — плюс). Теперь умножаем на 5x: коэффициенты 4 · 5 = 20, степени x⁶ · x = x⁷. Получаем 20x⁷.

Ответ: 20x⁷.

💡 Запомни главное

• Одночлен — произведение чисел, переменных и их степеней; без + и − на верхнем уровне.
• Стандартный вид — сначала коэффициент, потом степени переменных; коэффициент «пустого» одночлена равен 1 (или −1).
• Умножение одночленов: перемножь коэффициенты, сложи показатели одинаковых букв.
• Возведение в степень: возведи в степень коэффициент И каждую переменную.

📝 Домашнее задание

1. Какие из выражений одночлены: 6ab, x + 2, −5y³, a/b?
2. Приведи к стандартному виду: 3 · x · 4 · x · x.
3. Назови коэффициент одночлена: −7a²b.
4. Назови коэффициент одночлена: x³y.
5. Перемножь: 5a³ · 2a⁴.
6. Перемножь: 3x²y · 4xy².
7. Возведи в степень: (2x⁴)³.
8. Возведи в степень: (−3a²)².
9. ⭐ Упрости: (−2xy²)³ · 4x²y.