Урок 20. Функции y = x² и y = x³ и их графики

Алгебра, 7 класс · §8 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Как выглядят графики функций y = x² и y = x³.
• Что такое парабола и кубическая парабола и какие у них свойства.
• Как по графику находить значения и читать поведение функции.

📖 Разбираемся в теме

Ты уже умеешь возводить числа в квадрат и в куб. А что, если подставлять в x² не одно число, а все подряд, и каждый раз отмечать точку на координатной плоскости? Получится не отдельная точка, а целая линия — график функции. И у двух наших старых знакомых, x² и x³, графики удивительно красивые.

Функция y = x²

Возьмём функцию y = x² и составим таблицу значений. Для каждого x считаем его квадрат:

Заметил? При x = 2 и при x = −2 получается одно и то же значение y = 4. Это потому, что квадрат «съедает» минус: (−2)² = 2². Если отметить все точки и соединить плавной линией, получится симметричная чаша — парабола.

📌 Правило (свойства параболы y = x²):

• Проходит через начало координат (0; 0) — это её вершина.
• Расположена выше оси x (или на ней): y всегда ≥ 0.
• Симметрична относительно оси y (левая и правая ветви — зеркальные).
• Чем дальше от нуля, тем круче ветви идут вверх.

💡 Лайфхак: Чтобы построить параболу, хватит нескольких точек справа от оси y, а левую половину просто отрази зеркально — она такая же.

⏱ Попробуй сам: пользуясь графиком или формулой, найди y при x = 1,5. И при каких x значение y = 9?

Готов? y = 1,5² = 2,25. А y = 9 при x = 3 и при x = −3 (две точки, ветви симметричны).

Функция y = x³

Теперь куб. Составим таблицу для y = x³:

Тут всё иначе! Куб сохраняет знак: при отрицательных x значения отрицательные, при положительных — положительные. График — плавная линия, которая «изгибается» через начало координат. Её называют кубической параболой.

📌 Правило (свойства кубической параболы y = x³):

• Проходит через начало координат (0; 0).
• При x > 0 значения положительные, при x < 0 — отрицательные.
• Симметрична относительно начала координат (если повернуть график на 180° вокруг точки 0, он совпадёт сам с собой).
• Чем больше x, тем быстрее (круче, чем у параболы) растёт y.

⚠️ Частая ошибка: Не путай графики! Парабола (x²) — это «чаша», обе ветви смотрят вверх. Кубическая парабола (x³) уходит вниз слева и вверх справа — она проходит «насквозь» через начало координат.

🤔 А знаешь ли ты? Парабола — не просто фигура из учебника. По параболе летит брошенный мяч, по ней делают зеркала автомобильных фар и «тарелки» спутниковых антенн: параболическая форма собирает все лучи в одну точку — фокус.

Как читать график

График — это не картинка для красоты, а удобный «калькулятор». Хочешь узнать y при заданном x? Найди x на горизонтальной оси, поднимись до кривой, потом сдвинься к оси y — там и будет ответ. Можно и наоборот: по значению y найти, при каких x оно достигается.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Принадлежит ли точка (−2; 4) графику функции y = x²?

Решение. Подставим x = −2 в формулу: y = (−2)² = 4. Получили именно 4 — совпало.

Ответ: да, принадлежит.

Пример 2. Принадлежит ли точка (3; 6) графику функции y = x²?

Решение. Подставим x = 3: y = 3² = 9, а не 6.

Ответ: нет, не принадлежит.

Пример 3. Найди по формуле значение функции y = x³ при x = −3.

Решение. y = (−3)³ = −27 (нечётная степень сохраняет минус).

Ответ: −27.

Пример 4. При каких значениях x функция y = x² принимает значение 25?

Решение. Нужно x² = 25. Это верно для x = 5 (5² = 25) и для x = −5 ((−5)² = 25). Парабола симметрична — два ответа.

Ответ: x = 5 и x = −5.

Пример 5. При каком значении x функция y = x³ принимает значение 8?

Решение. Нужно x³ = 8. Подходит только x = 2 (2³ = 8). Для куба значение даёт лишь один x.

Ответ: x = 2.

Пример 6. Точка (a; 64) лежит на графике y = x³. Может ли a быть отрицательным?

Решение. Если a < 0, то a³ тоже отрицательно, а 64 > 0. Значит, a должно быть положительным: a³ = 64 при a = 4.

Ответ: нет, a = 4 (положительное).

💡 Запомни главное

• y = x² — парабола: «чаша» с вершиной в (0; 0), вся выше оси x, симметрична относительно оси y.
• y = x³ — кубическая парабола: проходит через (0; 0), симметрична относительно начала координат, сохраняет знак x.
• Уравнение x² = c (при c > 0) даёт два значения x; уравнение x³ = c — одно.
• Чтобы проверить, лежит ли точка на графике, подставь её x в формулу и сравни результат с y.

📝 Домашнее задание

1. Заполни таблицу значений y = x² для x = −3, −1, 0, 1, 3.
2. Принадлежит ли точка (−4; 16) графику y = x²?
3. Принадлежит ли точка (2; 6) графику y = x²?
4. Найди значение функции y = x³ при x = 4.
5. Найди значение функции y = x³ при x = −2.
6. При каких x функция y = x² принимает значение 49?
7. При каком x функция y = x³ принимает значение −27?
8. Точка (3; b) лежит на графике y = x². Найди b.
9. ⭐ На графике y = x² отметили две точки с одинаковым y = 36. Найди их координаты и объясни, почему их две.