Урок 21. Многочлен и его стандартный вид

Алгебра, 7 класс · §9 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое многочлен и из чего он «собран».
• Какие члены многочлена называют подобными и как их «склеивать».
• Как привести многочлен к стандартному виду и найти его степень.

📖 Разбираемся в теме

Помнишь одночлены? Это такие «кирпичики», как 3a², −5xy, 7. А теперь представь, что мы взяли несколько кирпичиков и соединили их знаками «+» и «−». Получилась стена. Вот эта стена и есть многочлен.

3a² − 5ab + 7b − 2

Это многочлен. У него четыре «кирпичика»: 3a², −5ab, 7b и −2. Каждый такой кирпичик называется членом многочлена.

📌 Правило: Многочлен — это сумма одночленов. Каждый одночлен в этой сумме называется членом многочлена.

Заметил хитрость? Хотя между 3a² и 5ab стоит знак «минус», мы всё равно говорим «сумма». Просто −5ab — это тоже одночлен, у которого минус как бы «приклеен» к коэффициенту. Так что «вычитание» — это на самом деле прибавление отрицательного. Удобно: тогда всё — сумма.

🤔 А знаешь ли ты? Слово «многочлен» — это перевод. «Поли» по-гречески значит «много», а «ном» — «часть». Поэтому многочлен по-научному называют полиномом. А одночлен — мономом (моно = один).

Подобные члены

Смотри на этот многочлен:

5x + 3x² − 2x + 7

Видишь два члена с буквой x в первой степени? Это 5x и −2x. У них одинаковая буквенная часть (просто x). Такие члены называются подобными, и их можно сложить в один: 5x − 2x = 3x.

📌 Правило: Подобные члены — это члены с одинаковой буквенной частью (одни и те же буквы в одинаковых степенях). Подобные члены можно складывать — это называется приведение подобных членов.

Чтобы сложить подобные, складывают их коэффициенты, а буквенную часть оставляют без изменений:

5x − 2x = (5 − 2)x = 3x

💡 Лайфхак: Чтобы не запутаться, представь, что x — это яблоко. 5 яблок минус 2 яблока = 3 яблока. А x² — это уже груша, её к яблокам не прибавишь. 5x и 3x² сложить нельзя — это разные «фрукты».

⚠️ Частая ошибка: 3x² и 5x — НЕ подобные! Степени разные (² и ¹), значит, буквенные части разные. Их складывать нельзя, так и оставляем: 3x² + 5x.

Стандартный вид

Математики любят порядок. Чтобы многочлены было удобно сравнивать, их приводят к стандартному виду. Это значит:

1. Каждый член записан в стандартном виде (число впереди, потом буквы).
2. Все подобные члены уже приведены (нет двух членов с одинаковой буквенной частью).
3. Члены обычно расставляют по убыванию степени — от старшей к младшей.

⏱ Попробуй сам: приведи к стандартному виду 2a + 5a² − a + 1. Что получится?

Готов? Подобные — это 2a и −a: 2a − a = a. Расставляем по убыванию степени: 5a² + a + 1. Вот это стандартный вид.

Степень многочлена

У каждого одночлена есть степень (сумма показателей всех букв). А у многочлена?

📌 Правило: Степень многочлена (в стандартном виде) — это наибольшая из степеней его членов.

Например, в 5a² + a + 1: степень 5a² равна 2, степень a равна 1, степень 1 равна 0. Самая большая — 2. Значит, степень всего многочлена равна 2.

⚠️ Частая ошибка: Степень надо искать ТОЛЬКО после приведения к стандартному виду! В выражении 7x³ − 7x³ + 5x кажется, что степень 3. Но 7x³ − 7x³ = 0, остаётся 5x — и степень на самом деле 1.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Назови члены многочлена 4x³ − 2x + 9 и его степень.

Решение. Члены: 4x³, −2x и 9 (свободный член, степень 0). Наибольшая степень — у 4x³, она равна 3.

Ответ: члены 4x³, −2x, 9; степень многочлена 3.

Пример 2. Приведи подобные члены: 7a + 3b − 2a + 5b.

Решение. Подобные с буквой a: 7a и −2a, их сумма 7a − 2a = 5a. Подобные с буквой b: 3b и 5b, их сумма 3b + 5b = 8b. Собираем: 5a + 8b.

Ответ: 5a + 8b.

Пример 3. Приведи к стандартному виду: 6x² − 4x + 1 − 2x² + 4x.

Решение. Группируем подобные. С x²: 6x² − 2x² = 4x². С x: −4x + 4x = 0 (исчезают!). Свободный член: 1. Получаем 4x² + 0 + 1 = 4x² + 1.

Ответ: 4x² + 1.

Пример 4. Приведи к стандартному виду и найди степень: 3a²b + 5 − a²b + 2a²b.

Решение. Подобные члены — все с a²b: 3a²b − a²b + 2a²b = (3 − 1 + 2)a²b = 4a²b. Свободный член 5. Получаем 4a²b + 5. Степень члена 4a²b равна 2 + 1 = 3.

Ответ: 4a²b + 5; степень 3.

Пример 5. Приведи к стандартному виду: 2m·3n + 5mn − 4nm.

Решение. Сначала каждый член — в стандартный вид: 2m·3n = 6mn. Теперь все три члена подобны (mn = nm): 6mn + 5mn − 4nm = (6 + 5 − 4)mn = 7mn.

Ответ: 7mn.

Пример 6. Найди степень многочлена 8y⁴ − 8y⁴ + 3y² − y.

Решение. Сначала приводим подобные: 8y⁴ − 8y⁴ = 0. Остаётся 3y² − y. Наибольшая степень теперь — у 3y², она равна 2.

Ответ: 2.

💡 Запомни главное

• Многочлен — сумма одночленов; каждый одночлен — член многочлена.
• Подобные члены имеют одинаковую буквенную часть; их складывают, складывая коэффициенты.
• Стандартный вид: подобные приведены, члены по убыванию степени.
• Степень многочлена — наибольшая степень его членов (после приведения к стандартному виду).

📝 Домашнее задание

1. Назови члены многочлена: 5a² − 3a + 7.
2. Приведи подобные члены: 4x + 9x − 2x.
3. Приведи подобные члены: 6m − 2n + 3m + 5n.
4. Приведи к стандартному виду: 3x² + 5x − x² + 2x.
5. Приведи к стандартному виду: 7ab − 4 + 2ab + 4 − ab.
6. Найди степень многочлена: 4x³ − 2x² + 6.
7. Приведи к стандартному виду и найди степень: 2a²b − 5 + 3a²b + 1.
8. Приведи к стандартному виду: 3x·2y + 4xy − 5yx.
9. ⭐ Приведи к стандартному виду и найди степень: 5y³ + 2y − 5y³ + 7y² − 2y + 1.