Урок 22. Сложение и вычитание многочленов

Алгебра, 7 класс · §9 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Как раскрывать скобки, перед которыми стоит «+» или «−».
• Почему минус перед скобкой «переворачивает» все знаки внутри.
• Как складывать и вычитать многочлены и приводить подобные.

📖 Разбираемся в теме

Представь, что у тебя в одном кармане 3 яблока и 2 груши, а в другом — 4 яблока и 1 груша. Сколько всего? Складываешь «своё со своим»: яблоки с яблоками, груши с грушами. 7 яблок и 3 груши.

Со многочленами абсолютно так же. Чтобы сложить (3a + 2b) и (4a + b), мы складываем подобные члены. Но сначала надо раскрыть скобки.

Знак «плюс» перед скобкой

Это самый лёгкий случай. Если перед скобкой стоит «+» (или ничего не стоит), скобки можно просто убрать — все знаки внутри остаются как были.

(3a + 2b) + (4a − b) = 3a + 2b + 4a − b

📌 Правило: Если перед скобкой стоит знак «+», скобки опускают, сохраняя знак каждого члена внутри.

Теперь приводим подобные: 3a + 4a = 7a, а 2b − b = b. Итог: 7a + b.

Знак «минус» перед скобкой — самое важное!

А вот тут начинается главное. Что значит вычесть многочлен? Это значит вычесть КАЖДЫЙ его член. А значит, у каждого члена в скобке знак меняется на противоположный.

5x − (2x − 3) = 5x − 2x + 3

Видишь? Было −3 внутри скобки, а стало +3. Минус перед скобкой «переворачивает» все знаки.

📌 Правило: Если перед скобкой стоит знак «−», скобки опускают, а знак КАЖДОГО члена внутри меняют на противоположный: «+» становится «−», а «−» становится «+».

💡 Лайфхак: Думай о минусе перед скобкой как о выключателе света наоборот: он переключает ВСЕ члены внутри. Не один, не первый — а все до единого.

⚠️ Частая ошибка: Самый частый промах — поменять знак только у первого члена. 7 − (a − b) — это НЕ 7 − a − b! Правильно 7 − a + b. Минус достаётся каждому.

⏱ Попробуй сам: раскрой скобки в 10 − (3y − 4). Что получится?

Готов? Минус меняет знаки обоих членов: 10 − 3y + 4 = 14 − 3y.

Складываем и вычитаем многочлены

Алгоритм один и тот же:

1. Раскрой скобки (помни про минус!).
2. Приведи подобные члены.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Выполни сложение: (3a + 5b) + (2a − 8b).

Решение. Перед скобками плюс — раскрываем без изменений: 3a + 5b + 2a − 8b. Приводим подобные: 3a + 2a = 5a, 5b − 8b = −3b.

Ответ: 5a − 3b.

Пример 2. Выполни вычитание: (7x + 4) − (3x + 9).

Решение. Перед второй скобкой минус — меняем знаки её членов: 7x + 4 − 3x − 9. Приводим подобные: 7x − 3x = 4x, 4 − 9 = −5.

Ответ: 4x − 5.

Пример 3. Упрости: (5m − 2n) − (3m − 7n).

Решение. Минус перед второй скобкой переворачивает оба знака: 5m − 2n − 3m + 7n. (Внимание: −7n стало +7n!) Приводим подобные: 5m − 3m = 2m, −2n + 7n = 5n.

Ответ: 2m + 5n.

Пример 4. Упрости: 4x² − (2x² − 5x + 1).

Решение. Минус меняет знак КАЖДОГО члена в скобке: 4x² − 2x² + 5x − 1. Приводим подобные: 4x² − 2x² = 2x². Остальные без пары.

Ответ: 2x² + 5x − 1.

Пример 5. Упрости: (a² + 3a − 2) + (4a² − 3a + 6).

Решение. Перед скобками плюс, раскрываем как есть: a² + 3a − 2 + 4a² − 3a + 6. Приводим подобные: a² + 4a² = 5a², 3a − 3a = 0, −2 + 6 = 4.

Ответ: 5a² + 4.

Пример 6. Упрости: (6y − 1) − (2y − 3) + (y − 5).

Решение. Первая скобка с плюсом — как есть; вторая с минусом — меняем знаки; третья с плюсом — как есть. 6y − 1 − 2y + 3 + y − 5. Приводим подобные: 6y − 2y + y = 5y, −1 + 3 − 5 = −3.

Ответ: 5y − 3.

💡 Запомни главное

• «+» перед скобкой: убираем скобку, знаки внутри не меняются.
• «−» перед скобкой: убираем скобку и меняем знак КАЖДОГО члена внутри.
• После раскрытия скобок всегда приводим подобные члены.

📝 Домашнее задание

1. Раскрой скобки: (4a + 7b) + (a − 2b).
2. Раскрой скобки: 8 − (x − 5).
3. Выполни вычитание: (9m + 3) − (4m + 8).
4. Упрости: (6x − 5y) − (2x − 9y).
5. Упрости: 5a² − (3a² − 2a + 7).
6. Упрости: (3x² + x − 4) + (x² − x + 10).
7. Упрости: (7n − 2) − (3n − 6) + (n − 1).
8. Упрости: (a − b + c) − (a + b − c).
9. ⭐ Упрости: 2x² − (x² − 3x + 5) − (x² + 2x − 8).