Урок 23. Умножение одночлена на многочлен

Алгебра, 7 класс · §10 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Как умножить одночлен на многочлен с помощью распределительного закона.
• Как при этом не потерять знаки и степени.
• Как решать уравнения, в которых встречается такое умножение.

📖 Разбираемся в теме

Ты уже сто раз так считал, просто не замечал. Сколько будет 3 · 21? Можно в столбик, а можно хитрее: 3 · 21 = 3 · (20 + 1) = 3 · 20 + 3 · 1 = 60 + 3 = 63. Мы «раздали» тройку каждому слагаемому. Это и есть распределительный закон умножения.

С буквами всё точно так же:

a(b + c) = ab + ac

📌 Правило: Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на КАЖДЫЙ член многочлена и сложить полученные произведения.

Например:

2x(3x + 5) = 2x · 3x + 2x · 5 = 6x² + 10x

💡 Лайфхак: Представь, что одночлен перед скобкой — это почтальон, а члены внутри — дома. Почтальон должен зайти в КАЖДЫЙ дом, никого не пропустить. Если в скобке три члена — будет три произведения.

⚠️ Частая ошибка: Не забывай умножать на ВСЕ члены. 2x(3x + 5) — это не 6x² + 5 (умножили только на первое). Пятёрку тоже надо умножить на 2x!

Не забывай и про знаки. Если перед членом скобки стоит минус — он участвует в умножении:

−3a(a − 4) = −3a · a − 3a · (−4) = −3a² + 12a

Здесь −3a · (−4) = +12a, потому что минус на минус даёт плюс.

⚠️ Частая ошибка: Когда множитель отрицательный, легко напутать со знаком второго произведения. Минус на минус — плюс! −2(x − 3) = −2x + 6, а не −2x − 6.

⏱ Попробуй сам: раскрой скобки в 4y(y − 2). Что получится?

Готов? 4y · y − 4y · 2 = 4y² − 8y.

Решаем уравнения

Часто в уравнении сначала прячется такое умножение. Сначала раскрываем скобки, потом всё стандартно: неизвестные — в одну сторону, числа — в другую.

3(x + 2) = 15 3x + 6 = 15 3x = 15 − 6 3x = 9 x = 3

💡 Лайфхак: После раскрытия скобок проверь себя — подставь найденный корень в исходное уравнение. 3(3 + 2) = 3 · 5 = 15. Верно!

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Выполни умножение: 5(2a + 3).

Решение. Умножаем 5 на каждый член: 5 · 2a + 5 · 3 = 10a + 15.

Ответ: 10a + 15.

Пример 2. Выполни умножение: 3x(x − 4).

Решение. 3x · x − 3x · 4 = 3x² − 12x.

Ответ: 3x² − 12x.

Пример 3. Выполни умножение: −2a(3a² − a + 5).

Решение. Умножаем −2a на каждый из трёх членов: −2a · 3a² = −6a³; −2a · (−a) = +2a² (минус на минус — плюс); −2a · 5 = −10a. Собираем: −6a³ + 2a² − 10a.

Ответ: −6a³ + 2a² − 10a.

Пример 4. Упрости: 2x(x + 3) − x(2x − 1).

Решение. Раскрываем обе скобки. Первая: 2x · x + 2x · 3 = 2x² + 6x. Вторая: x · 2x − x · 1 = 2x² − x, но перед ней минус, поэтому вычитаем: −(2x² − x) = −2x² + x. Складываем всё: 2x² + 6x − 2x² + x = (2x² − 2x²) + (6x + x) = 7x.

Ответ: 7x.

Пример 5. Реши уравнение: 4(x − 1) = 2x + 6.

Решение. Раскрываем скобку: 4x − 4 = 2x + 6. Переносим: 4x − 2x = 6 + 4, то есть 2x = 10. Делим: x = 5. Проверка: 4(5 − 1) = 16 и 2 · 5 + 6 = 16. Сходится.

Ответ: x = 5.

Пример 6. Реши уравнение: 3(2x − 1) − 2(x + 4) = 1.

Решение. Раскрываем скобки: 3 · 2x − 3 · 1 = 6x − 3; затем −2(x + 4) = −2x − 8. Получаем 6x − 3 − 2x − 8 = 1. Приводим подобные слева: 4x − 11 = 1. Переносим: 4x = 1 + 11 = 12, значит x = 3. Проверка: 3(6 − 1) − 2(3 + 4) = 15 − 14 = 1. Верно.

Ответ: x = 3.

💡 Запомни главное

• Распределительный закон: одночлен умножается на КАЖДЫЙ член многочлена.
• Следи за знаками: минус на минус даёт плюс.
• В уравнениях сначала раскрой скобки, потом собирай неизвестные слева, числа справа.

📝 Домашнее задание

1. Выполни умножение: 4(3a + 2).
2. Выполни умножение: 2x(x + 5).
3. Выполни умножение: −3(a − 6).
4. Выполни умножение: −2y(4y² − 3y + 1).
5. Упрости: 5(a + 2) + 3(a − 1).
6. Упрости: 3x(x − 2) − x(x + 4).
7. Реши уравнение: 2(x + 3) = 14.
8. Реши уравнение: 5(x − 2) = 3x + 4.
9. ⭐ Реши уравнение: 4(2x − 1) − 3(x − 5) = 21.