Урок 25. Умножение многочлена на многочлен
Алгебра, 7 класс · §11 · ~45 минут
🎯 Что ты узнаешь
- Как умножить многочлен на многочлен по правилу «каждый член на каждый».
- Почему это работает (подсказка — площадь прямоугольника).
- Как ничего не пропустить и привести подобные в конце.
📖 Разбираемся в теме
Раньше мы умножали один одночлен на скобку. А что, если скобок две?
(a + b)(c + d)
Здесь у нас многочлен умножается на многочлен. И правило логично продолжает прошлое: каждый член первой скобки нужно умножить на каждый член второй.
📌 Правило: Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения. Затем привести подобные члены.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Получилось четыре произведения: 2 члена × 2 члена = 4.
Почему это правда? Смотри на площадь
Представь прямоугольник со сторонами (a + b) и (c + d). Его площадь — произведение сторон. Но если разбить его на части, площадь складывается из четырёх маленьких прямоугольников. И их площади — это как раз ac, ad, bc, bd!
💡 Лайфхак: Чтобы не запутаться, действуй по порядку. Возьми первый член первой скобки и «пройдись» им по всем членам второй. Потом возьми второй член первой скобки и снова пройдись по всем. Как будто соединяешь каждого с каждым стрелочками.
⚠️ Частая ошибка: Пропустить произведение. В (x + 2)(x + 3) должно быть РОВНО 4 произведения: x·x, x·3, 2·x, 2·3. Если их получилось 2 или 3 — что-то потеряли.
И, конечно, следим за знаками. Минус перед членом — часть члена, он участвует в умножении.
(x − 2)(x + 5) = x·x + x·5 − 2·x − 2·5 = x² + 5x − 2x − 10 = x² + 3x − 10
⏱ Попробуй сам: перемножь (x + 1)(x + 4). Сколько получится произведений и какой ответ?
Готов? Четыре произведения: x² + 4x + x + 4 = x² + 5x + 4.
✍️ Разбор примеров
Пример 1. Выполни умножение: (x + 3)(x + 2).
Решение. Каждый на каждый: x·x + x·2 + 3·x + 3·2 = x² + 2x + 3x + 6. Приводим подобные: 2x + 3x = 5x.
Ответ: x² + 5x + 6.
Пример 2. Выполни умножение: (a − 4)(a + 6).
Решение. a·a + a·6 − 4·a − 4·6 = a² + 6a − 4a − 24. Приводим подобные: 6a − 4a = 2a.
Ответ: a² + 2a − 24.
Пример 3. Выполни умножение: (2x + 1)(x − 5).
Решение. 2x·x + 2x·(−5) + 1·x + 1·(−5) = 2x² − 10x + x − 5. Приводим подобные: −10x + x = −9x.
Ответ: 2x² − 9x − 5.
Пример 4. Выполни умножение: (3a − 2)(2a − 5).
Решение. 3a·2a + 3a·(−5) − 2·2a − 2·(−5) = 6a² − 15a − 4a + 10. Внимание: −2·(−5) = +10. Приводим подобные: −15a − 4a = −19a.
Ответ: 6a² − 19a + 10.
Пример 5. Выполни умножение: (x + 2)(x² − 3x + 1).
Решение. Член x умножаем на все три члена: x·x² + x·(−3x) + x·1 = x³ − 3x² + x. Член 2 умножаем на все три: 2·x² + 2·(−3x) + 2·1 = 2x² − 6x + 2. Складываем всё: x³ − 3x² + x + 2x² − 6x + 2. Приводим подобные: −3x² + 2x² = −x², x − 6x = −5x.
Ответ: x³ − x² − 5x + 2.
Пример 6. Упрости: (x + 3)(x − 1) − (x + 2)(x − 4).
Решение. Первое произведение: x² − x + 3x − 3 = x² + 2x − 3. Второе: x² − 4x + 2x − 8 = x² − 2x − 8. Теперь вычитаем второе из первого, минус меняет знаки второго: (x² + 2x − 3) − (x² − 2x − 8) = x² + 2x − 3 − x² + 2x + 8. Приводим подобные: x² − x² = 0, 2x + 2x = 4x, −3 + 8 = 5.
Ответ: 4x + 5.
💡 Запомни главное
- Каждый член на каждый, потом привести подобные.
- Число произведений = (членов в 1-й скобке) × (членов во 2-й скобке).
- Минус — часть члена, участвует в умножении; минус на минус — плюс.
📝 Домашнее задание
- Выполни умножение: (x + 1)(x + 5).
- Выполни умножение: (a + 4)(a − 2).
- Выполни умножение: (y − 3)(y − 6).
- Выполни умножение: (2x + 3)(x + 1).
- Выполни умножение: (3a − 1)(2a − 4).
- Выполни умножение: (x − 5)(x + 5).
- Выполни умножение: (a + 1)(a² + 2a − 3).
- Упрости: (x + 2)(x + 6) − x(x + 3).
- ⭐ Упрости: (2x − 1)(x + 3) − (x + 4)(x − 2).