Урок 26. Разложение многочлена на множители способом группировки

Алгебра, 7 класс · §11 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что делать, когда у всех членов нет общего множителя, а разложить хочется.
• Как разбить многочлен на группы и вынести множитель из каждой.
• Как «увидеть» общую скобку и вынести её за скобки.

📖 Разбираемся в теме

На уроке 24 мы выносили общий множитель: 6x² + 10x = 2x(3x + 5). Но это работало, потому что у ВСЕХ членов был общий множитель. А что делать вот с таким?

ax + ay + bx + by

Тут четыре члена, и общего множителя у всех сразу нет. У первых двух общий — a, у вторых двух — b. Но a и b разные! Тупик? Нет. Здесь поможет хитрый приём — группировка.

📌 Правило (способ группировки): Члены многочлена разбивают на группы так, чтобы из каждой группы можно было вынести общий множитель. Если после этого в скобках получится одинаковое выражение, его выносят за скобки.

Смотри, как это работает по шагам:

Шаг 1. Группируем по два (ставим скобки): ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by)

Шаг 2. Из каждой скобки выносим общий множитель: = a(x + y) + b(x + y)

Шаг 3. Видишь? В обеих частях появилась одинаковая скобка (x + y). Это наш новый общий множитель — выносим его: = (x + y)(a + b)

Готово! Многочлен разложен на множители.

💡 Лайфхак: Главная цель первого шага — добиться, чтобы в обеих скобках получилось ОДНО И ТО ЖЕ выражение. Если скобки получились разные — попробуй сгруппировать члены по-другому.

⚠️ Частая ошибка: При группировке с минусом перед второй группой нужно вынести так, чтобы скобки совпали. Например, в ax + ay − bx − by вторую группу берут с минусом: −(bx + by) = −b(x + y). Тогда обе скобки (x + y) совпадут.

⏱ Попробуй сам: разложи группировкой xy + 3x + 2y + 6. Подсказка — сгруппируй первые два и последние два.

Готов? (xy + 3x) + (2y + 6) = x(y + 3) + 2(y + 3) = (y + 3)(x + 2).

Проверка

Как всегда — раскрой скобки обратно. (y + 3)(x + 2) = xy + 2y + 3x + 6 = xy + 3x + 2y + 6. ✓ Совпало с исходным.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Разложи на множители: ab + ac + 5b + 5c.

Решение. Группируем: (ab + ac) + (5b + 5c). Из первой выносим a: a(b + c). Из второй выносим 5: 5(b + c). Получили a(b + c) + 5(b + c). Общая скобка (b + c), выносим её: (b + c)(a + 5).

Ответ: (b + c)(a + 5).

Пример 2. Разложи на множители: xy + 4x + y + 4.

Решение. (xy + 4x) + (y + 4). Из первой группы выносим x: x(y + 4). Во второй группе общего множителя нет, но (y + 4) можно записать как 1·(y + 4). Получаем x(y + 4) + 1·(y + 4) = (y + 4)(x + 1).

Ответ: (y + 4)(x + 1).

Пример 3. Разложи на множители: 3a + 3b + ax + bx.

Решение. (3a + 3b) + (ax + bx). Из первой выносим 3: 3(a + b). Из второй выносим x: x(a + b). Итог: 3(a + b) + x(a + b) = (a + b)(3 + x).

Ответ: (a + b)(3 + x).

Пример 4. Разложи на множители: ax − ay + bx − by.

Решение. (ax − ay) + (bx − by). Из первой выносим a: a(x − y). Из второй выносим b: b(x − y). Получаем a(x − y) + b(x − y) = (x − y)(a + b).

Ответ: (x − y)(a + b).

Пример 5. Разложи на множители: 2x − 2y − ax + ay.

Решение. (2x − 2y) + (−ax + ay). Из первой выносим 2: 2(x − y). Из второй вынесем −a, чтобы скобка совпала: −a(x − y). (Проверим: −a·x = −ax, −a·(−y) = +ay — верно.) Итог: 2(x − y) − a(x − y) = (x − y)(2 − a).

Ответ: (x − y)(2 − a).

Пример 6. Разложи на множители: x³ + x² + x + 1.

Решение. Группируем: (x³ + x²) + (x + 1). Из первой выносим x²: x²(x + 1). Во второй группе (x + 1) = 1·(x + 1). Получаем x²(x + 1) + 1·(x + 1) = (x + 1)(x² + 1). Проверка: (x + 1)(x² + 1) = x³ + x + x² + 1 = x³ + x² + x + 1. ✓

Ответ: (x + 1)(x² + 1).

💡 Запомни главное

• Группировка нужна, когда общего множителя у всех членов сразу нет.
• Разбей на группы, вынеси множитель из каждой — добивайся одинаковой скобки.
• Если члена выносят целиком, в группе остаётся 1.
• При минусе перед группой выноси с минусом, чтобы скобки совпали.
• Проверяй обратным умножением.

📝 Домашнее задание

1. Разложи на множители: ax + ay + 3x + 3y.
2. Разложи на множители: mb + mc + b + c.
3. Разложи на множители: xy + 2x + 5y + 10.
4. Разложи на множители: 7a + 7b + ax + bx.
5. Разложи на множители: ab − ac + 4b − 4c.
6. Разложи на множители: cx − cy + dx − dy.
7. Разложи на множители: 6x − 6y − ax + ay.
8. Разложи на множители: a³ + a² + 2a + 2.
9. ⭐ Разложи на множители и проверь: 2xy − 6x + 5y − 15.