Урок 27. Возведение в квадрат суммы и разности

Алгебра, 7 класс · §12 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Две главные формулы главы: (a + b)² и (a − b)².
• Почему в середине обязательно появляется удвоенное произведение 2ab.
• Как с помощью этих формул считать в уме то, что другие считают в столбик (например, 51²).
• Геометрический смысл — увидишь формулу глазами на картинке.

📖 Разбираемся в теме

Представь, что тебя на спор попросили возвести в квадрат число 32. В уме. За пять секунд. Большинство людей начнут потеть и тянуться к телефону. А ты после этого урока спокойно скажешь: «1024». И будешь прав.

Секрет в формулах сокращённого умножения. Они называются так, потому что позволяют не перемножать длинные скобки каждый раз, а сразу писать ответ по шаблону.

Начнём с самого важного. Что такое (a + b)²? Это всего лишь (a + b) умножить само на себя:

(a + b)² = (a + b)·(a + b)

Раскроем скобки честно, «каждый с каждым»:

(a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Видишь, что произошло? Появились два одинаковых слагаемых ab + ab, и они слились в 2ab.

📌 Правило (квадрат суммы): (a + b)² = a² + 2ab + b² «Квадрат первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго.»

Точно так же раскрывается и квадрат разности. Разница только в знаке среднего члена:

(a − b)² = a² − 2ab + b²

📌 Правило (квадрат разности): (a − b)² = a² − 2ab + b² «Квадрат первого, минус удвоенное произведение, плюс квадрат второго.»

Обрати внимание: последний член всегда со знаком плюс! Ведь b² — это квадрат, а квадрат не бывает отрицательным. Минус прячется только в середине.

Геометрический смысл

Формулу (a + b)² можно не только вывести, но и увидеть. Возьмём квадрат со стороной (a + b). Его площадь и есть (a + b)². А теперь разрежем эту сторону на кусочек a и кусочек b — квадрат распадётся на 4 части.

Сложим площади всех кусочков: большой синий квадрат a², маленький зелёный b² и два жёлтых прямоугольника ab + ab = 2ab. Итого: a² + 2ab + b². Вот откуда берётся «удвоенное произведение» — это просто два одинаковых прямоугольника по краям!

💡 Лайфхак: Средний член 2ab забывают чаще всего. Запомни намертво: (a + b)² ≠ a² + b². Если бы это было так, картинка состояла бы только из двух квадратов, а два жёлтых прямоугольника бесследно исчезли. Так не бывает.

⏱ Попробуй сам: раскрой (x + 3)². Подсказка: здесь a = x, b = 3.

Готов? a² = x², 2ab = 2·x·3 = 6x, b² = 9. Ответ: x² + 6x + 9.

Быстрый счёт в уме

А теперь обещанный фокус. Чтобы возвести в квадрат «неудобное» число, разложи его на круглое число плюс/минус остаток.

51² = (50 + 1)² = 50² + 2·50·1 + 1² = 2500 + 100 + 1 = 2601

49² = (50 − 1)² = 50² − 2·50·1 + 1² = 2500 − 100 + 1 = 2401

Никакого столбика! Просто формула.

🤔 А знаешь ли ты? Эти формулы знали ещё древние греки — у Евклида в «Началах» (III век до н. э.) они записаны словами и доказаны именно через площади квадратов, как на нашем рисунке. Буквенной записи a и b тогда не было — её придумали почти через 2000 лет.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Возведи в квадрат: (x + 5)².

Решение. Здесь a = x, b = 5.

• Квадрат первого: x².
• Удвоенное произведение: 2·x·5 = 10x.
• Квадрат второго: 5² = 25.

Ответ: x² + 10x + 25.

Пример 2. Возведи в квадрат: (a − 7)².

Решение. Формула квадрата разности, средний член со знаком минус.

• a²;
• −2·a·7 = −14a;
• (−7)² = 49 (квадрат всегда плюс).

Ответ: a² − 14a + 49.

Пример 3. Возведи в квадрат: (3x + 2)².

Решение. Теперь «первое» — это весь 3x, «второе» — 2.

• (3x)² = 9x²;
• 2·(3x)·2 = 12x;
• 2² = 4.

Ответ: 9x² + 12x + 4.

Пример 4. Возведи в квадрат: (4 − 5y)².

Решение. a = 4, b = 5y.

• 4² = 16;
• −2·4·5y = −40y;
• (5y)² = 25y².

Ответ: 16 − 40y + 25y².

Пример 5. Вычисли с помощью формулы: 102².

Решение. 102 = 100 + 2. 102² = (100 + 2)² = 100² + 2·100·2 + 2² = 10000 + 400 + 4 = 10404.

Ответ: 10404.

Пример 6. Вычисли с помощью формулы: 98².

Решение. 98 = 100 − 2. 98² = (100 − 2)² = 100² − 2·100·2 + 2² = 10000 − 400 + 4 = 9604.

Ответ: 9604.

💡 Запомни главное

• (a + b)² = a² + 2ab + b² — квадрат суммы.
• (a − b)² = a² − 2ab + b² — квадрат разности.
• Средний член — удвоенное произведение 2ab; именно его чаще всего забывают.
• Последний член (квадрат) всегда со знаком плюс.
• Для счёта в уме раскладывай число на круглое ± остаток: 51² = (50 + 1)².

📝 Домашнее задание

1. Возведи в квадрат: (x + 4)².
2. Возведи в квадрат: (b − 6)².
3. Возведи в квадрат: (2a + 3)².
4. Возведи в квадрат: (5 − x)².
5. Возведи в квадрат: (3m − 4n)².
6. Вычисли с помощью формулы: 41².
7. Вычисли с помощью формулы: 99².
8. Найди ошибку: ученик написал (x + 6)² = x² + 36. Исправь.
9. ⭐ Упрости: (x + 3)² + (x − 3)².