Урок 28. Разложение на множители по формулам квадрата

Алгебра, 7 класс · §12 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Как «прочитать формулу справа налево» и свернуть длинный трёхчлен обратно в квадрат.
• Что такое полный квадрат и как его узнать с первого взгляда.
• Как не попасться на ловушку, когда трёхчлен только притворяется полным квадратом.

📖 Разбираемся в теме

На прошлом уроке мы раскрывали скобки: из (a + b)² делали a² + 2ab + b². Это как разобрать конструктор на детали. А сегодня — обратная задача: собрать конструктор назад. Дано a² + 2ab + b² — а ты должен догадаться, что это (a + b)².

Зачем? Потому что свёрнутая форма короче, удобнее и часто помогает решать уравнения, сокращать дроби и упрощать выражения. Математики обожают сворачивать.

Просто перевернём знакомые формулы:

📌 Правило: a² + 2ab + b² = (a + b)² a² − 2ab + b² = (a − b)²

Выражение вида a² + 2ab + b² (или с минусом) называют полным квадратом — потому что его можно «свернуть» в квадрат скобки.

Как узнать полный квадрат

Перед тобой трёхчлен, например x² + 10x + 25. Как понять, что это полный квадрат, а не случайный набор? Действуем как детектив:

💡 Лайфхак (проверка из трёх шагов):

1. Два крайних члена должны быть квадратами. Тут x² = (x)² и 25 = (5)². Значит, a = x, b = 5.
2. Средний член должен равняться удвоенному произведению этих корней: 2·x·5 = 10x. Совпало!
3. Если совпало — сворачиваем: x² + 10x + 25 = (x + 5)².

А знак внутри скобки берём по знаку среднего члена: плюс → (a + b)², минус → (a − b)².

⏱ Попробуй сам: разложи x² − 6x + 9.

Готов? Крайние: x² и 9 = 3². Проверяем середину: 2·x·3 = 6x — да, и она с минусом. Значит, (x − 3)².

⚠️ Частая ошибка: Не каждый трёхчлен с двумя квадратами — полный квадрат! Возьми x² + 7x + 9. Крайние — квадраты x и 3, но 2·x·3 = 6x, а у нас 7x. Не совпало — значит, это НЕ полный квадрат, и так свернуть нельзя. Всегда проверяй средний член!

🤔 А знаешь ли ты? Умение «дополнять до полного квадрата» — это супер-приём, на котором в 8 классе строится решение всех квадратных уравнений и вывод знаменитой формулы дискриминанта. Так что то, что ты учишь сейчас, — фундамент.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Разложи на множители: x² + 8x + 16.

Решение. Крайние: x² = (x)², 16 = (4)². Проверка середины: 2·x·4 = 8x — совпало, знак плюс.

Ответ: (x + 4)².

Пример 2. Разложи на множители: a² − 14a + 49.

Решение. Крайние: a² и 49 = 7². Середина: 2·a·7 = 14a, знак минус — берём разность.

Ответ: (a − 7)².

Пример 3. Разложи на множители: 4x² + 12x + 9.

Решение. Крайние члены — квадраты: 4x² = (2x)², 9 = (3)². Значит, a = 2x, b = 3. Проверка: 2·(2x)·3 = 12x — совпало.

Ответ: (2x + 3)².

Пример 4. Разложи на множители: 25 − 20y + 4y².

Решение. Крайние: 25 = 5², 4y² = (2y)². Середина: 2·5·2y = 20y, знак минус.

Ответ: (5 − 2y)².

Пример 5. Является ли x² + 5x + 4 полным квадратом?

Решение. Крайние члены квадраты: x² и 4 = 2². Но удвоенное произведение 2·x·2 = 4x, а у нас 5x. Не совпадает.

Ответ: нет, это не полный квадрат.

Пример 6. Вычисли, свернув в квадрат: 36² + 2·36·64 + 64².

Решение. Это полный квадрат с a = 36, b = 64: 36² + 2·36·64 + 64² = (36 + 64)² = 100² = 10000.

Ответ: 10000.

💡 Запомни главное

• a² + 2ab + b² = (a + b)²; a² − 2ab + b² = (a − b)² — формулы «справа налево».
• Полный квадрат распознаётся в три шага: два крайних — квадраты; середина = удвоенному произведению корней; знак скобки = знаку середины.
• Совпадение среднего члена — обязательное условие. Нет совпадения — нет квадрата.

📝 Домашнее задание

1. Разложи на множители: x² + 6x + 9.
2. Разложи на множители: y² − 10y + 25.
3. Разложи на множители: 9a² + 6a + 1.
4. Разложи на множители: 16 − 8b + b².
5. Разложи на множители: 49x² − 28x + 4.
6. Является ли полным квадратом x² + 9x + 16? Объясни.
7. Вычисли, свернув в квадрат: 85² − 2·85·5 + 5².
8. Восстанови пропуск: x² + … + 49 = (x + 7)².
9. ⭐ Разложи на множители: x² + 2x + 1 − y² (подсказка: сначала сверни первые три члена).