Урок 29. Умножение разности на сумму

Алгебра, 7 класс · §13 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Самую красивую формулу главы: (a − b)(a + b) = a² − b².
• Почему при перемножении «разность на сумму» средние члены волшебным образом исчезают.
• Как с её помощью считать в уме произведения вроде 49·51 быстрее, чем нажимать кнопки калькулятора.

📖 Разбираемся в теме

Бывают формулы рабочие, а бывают — изящные. Эта — вторая. Смотри, что произойдёт, если перемножить две почти одинаковые скобки: одну с минусом, другую с плюсом.

(a − b)(a + b)

Раскроем «каждый с каждым»:

(a − b)(a + b) = a·a + a·b − b·a − b·b = a² + ab − ab − b²

Замечаешь? Средние члены +ab и −ab — противоположны и сокращаются! Остаётся только:

a² − b²

📌 Правило (разность квадратов): (a − b)(a + b) = a² − b² «Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности их квадратов.»

Вот и весь секрет: два средних слагаемых всегда уничтожают друг друга, потому что одно с плюсом, другое с минусом, а сами они одинаковы по модулю. Никакого 2ab здесь нет — не путай с квадратом суммы!

⚠️ Частая ошибка: Формула работает, только если скобки отличаются ТОЛЬКО знаком между членами. (a − b)(a + b) — да. А вот (a − b)(a − b) — это уже квадрат разности (a − b)², совсем другая формула! Проверяй знаки.

⏱ Попробуй сам: перемножь (x − 4)(x + 4).

Готов? Это разность квадратов: a = x, b = 4. Получаем x² − 4² = x² − 16. И всё — никаких средних членов.

Считаем в уме

Здесь формула показывает настоящую магию. Хочешь быстро умножить 49 на 51? Заметь, что это (50 − 1)(50 + 1) — разность и сумма вокруг числа 50!

49·51 = (50 − 1)(50 + 1) = 50² − 1² = 2500 − 1 = 2499

Пока сосед достаёт калькулятор, ты уже назвал ответ.

💡 Лайфхак: Ищи «пару чисел вокруг круглого». 38·42 = (40 − 2)(40 + 2) = 1600 − 4 = 1596. 97·103 = (100 − 3)(100 + 3) = 10000 − 9 = 9991. Главное — чтобы числа были симметричны относительно круглого.

🤔 А знаешь ли ты? Этот же приём — основа одного из старинных методов разложения больших чисел на множители (метод Ферма, XVII век). Если число можно записать как a² − b², то оно сразу раскладывается в (a − b)(a + b). Так когда-то взламывали «секретные» числа задолго до компьютеров.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Перемножь: (x − 6)(x + 6).

Решение. Разность на сумму, a = x, b = 6: x² − 6² = x² − 36.

Ответ: x² − 36.

Пример 2. Перемножь: (3a − 5)(3a + 5).

Решение. a = 3a, b = 5. Квадрат первого: (3a)² = 9a². Квадрат второго: 5² = 25.

Ответ: 9a² − 25.

Пример 3. Перемножь: (2x − 7y)(2x + 7y).

Решение. «Первое» = 2x, «второе» = 7y. (2x)² = 4x², (7y)² = 49y².

Ответ: 4x² − 49y².

Пример 4. Перемножь: (10 + b)(10 − b).

Решение. Порядок скобок не важен — лишь бы одна с плюсом, другая с минусом. 10² − b² = 100 − b².

Ответ: 100 − b².

Пример 5. Вычисли с помощью формулы: 58·62.

Решение. 58 и 62 симметричны вокруг 60: (60 − 2)(60 + 2) = 60² − 2² = 3600 − 4 = 3596.

Ответ: 3596.

Пример 6. Упрости: (x − 3)(x + 3) + 9.

Решение. Сначала разность квадратов: (x − 3)(x + 3) = x² − 9. Затем x² − 9 + 9 = x².

Ответ: x².

💡 Запомни главное

• (a − b)(a + b) = a² − b² — произведение разности на сумму равно разности квадратов.
• Средние члены +ab и −ab всегда сокращаются — никакого 2ab здесь нет.
• Скобки должны отличаться только знаком; (a − b)(a − b) — это другое!
• Для счёта ищи числа, симметричные вокруг круглого: 49·51 = 50² − 1.

📝 Домашнее задание

1. Перемножь: (x − 8)(x + 8).
2. Перемножь: (a + 1)(a − 1).
3. Перемножь: (5x − 2)(5x + 2).
4. Перемножь: (4a − 3b)(4a + 3b).
5. Перемножь: (7 + 2y)(7 − 2y).
6. Вычисли с помощью формулы: 39·41.
7. Вычисли с помощью формулы: 95·105.
8. Упрости: (a − 5)(a + 5) − a².
9. ⭐ Упрости: (x − 2)(x + 2)(x² + 4).