Урок 30. Разложение разности квадратов на множители

Алгебра, 7 класс · §13 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Как «прочитать наоборот» формулу разности квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b).
• Как мгновенно раскладывать выражения вроде x² − 25 или 9a² − 16.
• Почему сумма квадратов a² + b² НЕ раскладывается (и это важно помнить).
• Как комбинировать с вынесением общего множителя.

📖 Разбираемся в теме

На прошлом уроке мы из (a − b)(a + b) делали a² − b². Сегодня крутим формулу в обратную сторону: видим разность двух квадратов — и раскладываем её на множители.

📌 Правило: a² − b² = (a − b)(a + b) «Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и суммы.»

Это, пожалуй, самая часто используемая формула во всей школьной алгебре. Стоит увидеть «квадрат минус квадрат» — рука сама тянется разложить.

Как действовать? Найди, что возводится в квадрат у каждого члена.

x² − 25: первое — x (ведь x² = x²), второе — 5 (ведь 25 = 5²). Значит:

x² − 25 = (x − 5)(x + 5)

💡 Лайфхак: Алгоритм в два шага. (1) Извлеки «корни» из обоих квадратов — найди a и b. (2) Запиши (a − b)(a + b). Всё! Никаких вычислений в середине.

⏱ Попробуй сам: разложи 9a² − 16.

Готов? 9a² = (3a)², 16 = 4². Значит, (3a − 4)(3a + 4).

Самое важное предупреждение

⚠️ Частая ошибка: Раскладывается только разность квадратов. Сумма квадратов a² + b² на множители (с обычными числами) НЕ раскладывается! Запись x² + 9 = (x + 3)(x − 3) — грубая ошибка: если раскрыть правую часть, получится x² − 9, а вовсе не x² + 9.

Запомни простое: минус между квадратами — раскладываем, плюс — оставляем как есть.

Не забывай про общий множитель

Иногда разность квадратов прячется. Например, 2x² − 18 на первый взгляд не похожа на «квадрат минус квадрат». Но вынеси сначала общий множитель 2:

2x² − 18 = 2(x² − 9) = 2(x − 3)(x + 3)

💡 Лайфхак: Всегда сначала проверяй, нельзя ли вынести общий множитель. Это «расчищает» выражение и часто открывает спрятанную формулу.

🤔 А знаешь ли ты? Разложение разности квадратов помогает считать в уме даже квадраты! 53² можно найти так: 53² = 53² − 50² + 50² = (53 − 50)(53 + 50) + 2500 = 3·103 + 2500 = 309 + 2500 = 2809. Хитро, правда?

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Разложи на множители: x² − 49.

Решение. x² = x², 49 = 7². По формуле: (x − 7)(x + 7).

Ответ: (x − 7)(x + 7).

Пример 2. Разложи на множители: 25 − a².

Решение. 25 = 5², a² = a². Первое 5, второе a: (5 − a)(5 + a).

Ответ: (5 − a)(5 + a).

Пример 3. Разложи на множители: 16x² − 9.

Решение. 16x² = (4x)², 9 = 3². Получаем (4x − 3)(4x + 3).

Ответ: (4x − 3)(4x + 3).

Пример 4. Разложи на множители: 49a² − 25b².

Решение. 49a² = (7a)², 25b² = (5b)². Значит, (7a − 5b)(7a + 5b).

Ответ: (7a − 5b)(7a + 5b).

Пример 5. Разложи на множители: 3x² − 27.

Решение. Сначала выносим общий множитель 3: 3(x² − 9). В скобке разность квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Итого 3(x − 3)(x + 3).

Ответ: 3(x − 3)(x + 3).

Пример 6. Вычисли с помощью разложения: 76² − 24².

Решение. Это разность квадратов: 76² − 24² = (76 − 24)(76 + 24) = 52·100 = 5200.

Ответ: 5200.

💡 Запомни главное

• a² − b² = (a − b)(a + b) — разность квадратов всегда раскладывается.
• Алгоритм: извлеки корни a и b, запиши (a − b)(a + b).
• Сумма квадратов a² + b² на множители НЕ раскладывается.
• Перед формулой всегда проверяй, нельзя ли вынести общий множитель.

📝 Домашнее задание

1. Разложи на множители: x² − 36.
2. Разложи на множители: 81 − y².
3. Разложи на множители: 4a² − 1.
4. Разложи на множители: 64x² − 25.
5. Разложи на множители: 9m² − 49n².
6. Разложи на множители: 5x² − 45.
7. Можно ли разложить x² + 16? Объясни.
8. Вычисли с помощью разложения: 63² − 37².
9. ⭐ Разложи на множители: x⁴ − 81.