Урок 31. Сумма и разность кубов

Алгебра, 7 класс · §13 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Две формулы-«близнецы»: сумму и разность кубов.
• Что такое «неполный квадрат» и чем он отличается от полного.
• Хитрое правило знаков: где плюс, где минус — и как не перепутать.

📖 Разбираемся в теме

Квадраты ты уже приручил. Поднимаемся на этаж выше — к кубам. Оказывается, сумму и разность кубов тоже можно разложить на множители. Но формулы здесь чуть длиннее и хитрее, поэтому держим ухо востро.

📌 Правило (сумма кубов): a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

📌 Правило (разность кубов): a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Давай проверим первую раскрытием, чтобы ты поверил:

(a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³

Члены −a²b и +a²b сокращаются, +ab² и −ab² тоже сокращаются. Остаётся a³ + b³. Работает!

Неполный квадрат

Большая скобка a² − ab + b² называется неполным квадратом разности. Сравни:

• Полный квадрат разности: a² − 2ab + b² (помнишь, с двойкой?).
• Неполный квадрат разности: a² − ab + b² (без двойки!).

Слово «неполный» как раз и значит «без удвоения» — в середине просто ab, а не 2ab.

⚠️ Частая ошибка: В большой скобке стоит ab, а НЕ 2ab! Двойка — только в формулах квадратов. Если ты напишешь (a + b)(a² − 2ab + b²) — формула сломается, проверь сам.

Правило знаков (самое важное!)

В этих формулах три знака, и их легко перепутать. Запомни закономерность:

💡 Лайфхак: Первая скобка повторяет знак исходного выражения (куб суммы → плюс, куб разности → минус). А в большой скобке средний член имеет противоположный знак. Коротко: «знаки чередуются».

• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Видишь? + потом −, и наоборот: − потом +. Это и есть значок ∓ в общей записи a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²).

⏱ Попробуй сам: разложи x³ + 8. Подсказка: 8 = 2³, так что a = x, b = 2.

Готов? Сумма кубов: (x + 2)(x² − 2x + 4). Первая скобка с плюсом, средний член большой скобки с минусом.

🤔 А знаешь ли ты? Сумму двух кубов нельзя получить, сложив два «настоящих» куба больше нуля так, чтобы вышел третий куб: уравнение a³ + b³ = c³ не имеет решений в целых числах. Это частный случай знаменитой Великой теоремы Ферма, которую математики не могли доказать 358 лет — её закрыли только в 1994 году!

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Разложи на множители: x³ + 27.

Решение. 27 = 3³, значит a = x, b = 3. Сумма кубов: первая скобка (x + 3), большая — неполный квадрат разности x² − x·3 + 3² = x² − 3x + 9.

Ответ: (x + 3)(x² − 3x + 9).

Пример 2. Разложи на множители: a³ − 1.

Решение. 1 = 1³, a = a, b = 1. Разность кубов: (a − 1)(a² + a·1 + 1²) = (a − 1)(a² + a + 1).

Ответ: (a − 1)(a² + a + 1).

Пример 3. Разложи на множители: 8x³ + 1.

Решение. 8x³ = (2x)³, 1 = 1³. Здесь a = 2x, b = 1. Сумма кубов:

• первая скобка: (2x + 1);
• большая: (2x)² − 2x·1 + 1² = 4x² − 2x + 1.

Ответ: (2x + 1)(4x² − 2x + 1).

Пример 4. Разложи на множители: 27 − y³.

Решение. 27 = 3³, a = 3, b = y. Разность кубов:

• (3 − y);
• 3² + 3·y + y² = 9 + 3y + y².

Ответ: (3 − y)(9 + 3y + y²).

Пример 5. Разложи на множители: 64a³ − 125b³.

Решение. 64a³ = (4a)³, 125b³ = (5b)³. a = 4a, b = 5b. Разность кубов:

• (4a − 5b);
• (4a)² + 4a·5b + (5b)² = 16a² + 20ab + 25b².

Ответ: (4a − 5b)(16a² + 20ab + 25b²).

Пример 6. Проверь раскрытием, что (a − 1)(a² + a + 1) = a³ − 1.

Решение. Перемножаем «каждый с каждым»: a·a² + a·a + a·1 − 1·a² − 1·a − 1·1 = a³ + a² + a − a² − a − 1. Сокращаются +a² и −a², а также +a и −a. Остаётся a³ − 1.

Ответ: верно, a³ − 1.

💡 Запомни главное

• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) — сумма кубов.
• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) — разность кубов.
• Большая скобка — неполный квадрат (с ab, а НЕ 2ab).
• Знаки чередуются: в первой скобке как в выражении, средний член большой скобки — наоборот.
• Последний член большой скобки (b²) всегда со знаком плюс.

📝 Домашнее задание

1. Разложи на множители: x³ + 1.
2. Разложи на множители: a³ − 8.
3. Разложи на множители: y³ + 64.
4. Разложи на множители: 27x³ − 1.
5. Разложи на множители: 8 + b³.
6. Разложи на множители: 125a³ − 27.
7. Найди ошибку: x³ + 8 = (x + 2)(x² − 4x + 4). Исправь.
8. Проверь раскрытием, что (a + 1)(a² − a + 1) = a³ + 1.
9. ⭐ Разложи на множители: x⁶ − 1 (подсказка: это (x³)² − 1, разность квадратов, а дальше — кубы).