Урок 32. Преобразование целых выражений. Все способы разложения

Алгебра, 7 класс · §14 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое целое выражение и как «привести его к многочлену».
• Как выбрать правильный способ разложения, когда их сразу несколько.
• Главный порядок действий разложения: вынесение → формулы → группировка.
• Как комбинировать приёмы в одной задаче (а это любимое дело контрольных!).

📖 Разбираемся в теме

Поздравляю — ты добрался до урока, который собирает всю главу воедино. Здесь нет новых формул. Зато есть искусство: понять, какой инструмент достать из ящика для конкретной задачи.

Целое выражение — это выражение, составленное из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления на числа (но НЕ деления на выражение с переменной). Любое целое выражение можно преобразовать в многочлен — раскрыть все скобки и привести подобные.

Например: (x + 2)² − (x − 1)(x + 1) — целое выражение. Превратим его в многочлен: (x² + 4x + 4) − (x² − 1) = x² + 4x + 4 − x² + 1 = 4x + 5.

Три способа разложения на множители

За главу ты освоил несколько приёмов. Вот они, в том порядке, в котором их стоит пробовать:

📌 Порядок разложения на множители:

1. Вынести общий множитель за скобку (если он есть).
2. Применить формулы сокращённого умножения (разность квадратов, квадрат суммы/разности, сумма/разность кубов).
3. Использовать группировку (если членов 4 и больше).

💡 Лайфхак: Первый шаг — ВСЕГДА проверить общий множитель. Это не только упрощает выражение, но и часто открывает спрятанную формулу. Например, 5x² − 20 само по себе не формула, но 5(x² − 4) = 5(x − 2)(x + 2) — пожалуйста!

⏱ Попробуй сам: разложи 2x³ − 8x. Что вынести первым?

Готов? Общий множитель 2x: 2x(x² − 4) = 2x(x − 2)(x + 2). Сначала вынесли, потом применили разность квадратов.

Напоминание формул главы

Держи все формулы под рукой — это твой набор инструментов:

📌 Шпаргалка: (a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b² a² − b² = (a − b)(a + b) a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Группировка

Если членов четыре и ни общий множитель, ни формула сразу не видны — пробуй группировку: разбей члены на пары так, чтобы из каждой пары вынеслось одно и то же.

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

⚠️ Частая ошибка: После раскрытия скобок не забывай менять знаки, если перед скобкой стоит минус! −(x² − 1) = −x² + 1, а не −x² − 1. На этом «спотыкаются» чаще всего.

🤔 А знаешь ли ты? Умение быстро разложить выражение — это не просто школьное упражнение. На разложении больших чисел на множители держится вся современная криптография: твои пароли и банковские переводы защищены именно тем, что разложить огромное число очень трудно даже для суперкомпьютера.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Преобразуй в многочлен: (x + 3)² − (x − 2)(x + 2).

Решение. По формулам: (x² + 6x + 9) − (x² − 4). Раскрываем второй минус: x² + 6x + 9 − x² + 4 = 6x + 13.

Ответ: 6x + 13.

Пример 2. Разложи на множители: 3x² − 12.

Решение. Шаг 1 — общий множитель 3: 3(x² − 4). Шаг 2 — разность квадратов: 3(x − 2)(x + 2).

Ответ: 3(x − 2)(x + 2).

Пример 3. Разложи на множители: 2x² + 12x + 18.

Решение. Шаг 1 — вынесем 2: 2(x² + 6x + 9). Шаг 2 — в скобке полный квадрат: x² + 6x + 9 = (x + 3)². Итого 2(x + 3)².

Ответ: 2(x + 3)².

Пример 4. Разложи на множители: ax + ay + 2x + 2y.

Решение. Группировка. Первая пара: ax + ay = a(x + y). Вторая пара: 2x + 2y = 2(x + y). Общий множитель (x + y): (x + y)(a + 2).

Ответ: (x + y)(a + 2).

Пример 5. Разложи на множители: x³ − x.

Решение. Шаг 1 — общий множитель x: x(x² − 1). Шаг 2 — разность квадратов: x(x − 1)(x + 1).

Ответ: x(x − 1)(x + 1).

Пример 6. Разложи на множители: x² − y² + x + y.

Решение. Первые два члена — разность квадратов: x² − y² = (x − y)(x + y). Остаток x + y. Теперь общий множитель (x + y): (x − y)(x + y) + (x + y) = (x + y)(x − y + 1).

Ответ: (x + y)(x − y + 1).

💡 Запомни главное

• Любое целое выражение можно привести к многочлену: раскрой скобки и приведи подобные.
• Порядок разложения: вынесение общего множителя → формулы → группировка.
• Первым делом ВСЕГДА ищи общий множитель.
• Перед скобкой со знаком минус меняй знаки всех членов внутри.
• Раскладывай «до конца»: проверь, нельзя ли разложить дальше получившиеся скобки.

📝 Домашнее задание

1. Преобразуй в многочлен: (a + 4)² − (a − 4)².
2. Преобразуй в многочлен: (x − 5)(x + 5) + (x + 5)².
3. Разложи на множители: 4x² − 16.
4. Разложи на множители: 3a² − 18a + 27.
5. Разложи на множители: bx + by + 5x + 5y.
6. Разложи на множители: x³ − 9x.
7. Разложи на множители: 2x³ + 2 (подсказка: сначала вынеси множитель, потом сумма кубов).
8. Упрости: (x + 1)² − (x − 1)² − 4x.
9. ⭐ Разложи на множители: a² − b² − a − b.