Урок 33. Линейное уравнение с двумя переменными

Алгебра, 7 класс · §15 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Как выглядит линейное уравнение с двумя переменными ax + by = c
• Что такое решение такого уравнения (это не одно число, а целая пара!)
• Почему у такого уравнения бесконечно много решений
• Что график линейного уравнения с двумя переменными — это прямая
• Как построить эту прямую быстро и без ошибок

📖 Разбираемся в теме

Раньше уравнения у тебя были скромные: x − 5 = 0, и ответ один — x = 5. Одна переменная, один корень. Чисто, аккуратно.

А теперь представь, что тебе говорят: «У меня в кошельке несколько двухрублёвых и пятирублёвых монет, всего на 20 рублей. Сколько каких?» Сразу пишем: 2x + 5y = 20, где x — число двухрублёвых, y — число пятирублёвых.

И вот загвоздка: ответов-то много! Можно взять 5 двушек и 2 пятёрки (2·5 + 5·2 = 20). А можно 0 двушек и 4 пятёрки (2·0 + 5·4 = 20). Оба варианта подходят. Вот что значит уравнение с двумя переменными.

📌 Правило: Линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида ax + by = c, где a, b, c — числа, причём a и b не равны нулю одновременно.

Например: 2x + 5y = 20, или x − y = 3, или 7x + y = 0. Главное — переменные стоят в первой степени (никаких x², никаких x·y), отсюда и слово «линейное».

Что такое решение

Раз переменных две, то и ответ должен задавать обе сразу. Поэтому решение — это пара чисел.

📌 Правило: Решение уравнения с двумя переменными — это пара значений (x; y), которая обращает уравнение в верное равенство.

Пишут решение всегда в скобках, через точку с запятой, и сначала x, потом y: (5; 2). Это священный порядок, как имя и фамилия.

Проверим пару (5; 2) для уравнения 2x + 5y = 20: подставляем x = 5, y = 2 → 2·5 + 5·2 = 10 + 10 = 20. Верно! Значит, (5; 2) — решение.

⚠️ Частая ошибка: Путать порядок и записать (2; 5) вместо (5; 2). Проверим: 2·2 + 5·5 = 4 + 25 = 29 ≠ 20. Уже не решение! Порядок важен.

⏱ Попробуй сам: Является ли пара (0; 4) решением уравнения 2x + 5y = 20? Подставь и проверь.

Решений бесконечно много

Чтобы найти решения, удобно одну переменную выразить через другую. Возьмём x − y = 3 и выразим y: y = x − 3.

Теперь подставляем любое x, какое захотим, и получаем y:

Каждый столбик — это готовая пара-решение: (0; −3), (1; −2), (2; −1), (3; 0), (5; 2). И так можно продолжать вечно. Решений бесконечно много.

💡 Лайфхак: Чтобы найти решение, подставь любое удобное число вместо одной переменной и вычисли вторую. Бери такие x, чтобы y получался «красивым» (целым).

График — это прямая

А теперь самое красивое. Давай отметим все эти пары точками на координатной плоскости. (0; −3), (1; −2), (2; −1), (3; 0)... И окажется, что все они лежат на одной прямой линии!

📌 Правило: График линейного уравнения с двумя переменными — это прямая. Каждая точка прямой — это решение уравнения, и наоборот.

Как построить прямую

Прямая определяется всего двумя точками (помнишь линейку — приложил к двум точкам и провёл). Значит, нам хватит двух решений.

💡 Лайфхак: Удобнее всего брать x = 0 (тогда сразу видно, где прямая пересекает ось y) и y = 0 (где пересекает ось x). Эти точки легко считать и легко ставить.

🤔 А знаешь ли ты? Идею задавать линии уравнениями придумал французский философ и математик Рене Декарт ещё в XVII веке. Поэтому координатную плоскость с осями x и y называют декартовой. Говорят, идея пришла ему, когда он лежал в постели и следил за мухой на потолке: как описать её положение числами?

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Является ли пара (2; 3) решением уравнения 4x − y = 5?

Решение. Подставляем x = 2, y = 3: 4·2 − 3 = 8 − 3 = 5. Получили 5 — ровно то, что справа.

Ответ: да, (2; 3) — решение.

Пример 2. Является ли пара (1; 4) решением уравнения 3x + 2y = 10?

Решение. Подставляем x = 1, y = 4: 3·1 + 2·4 = 3 + 8 = 11. А нужно 10. 11 ≠ 10.

Ответ: нет, не является решением.

Пример 3. Вырази y через x из уравнения 2x + y = 7 и найди три решения.

Решение. Переносим 2x вправо: y = 7 − 2x.

• x = 0 → y = 7 − 0 = 7. Пара (0; 7).
• x = 1 → y = 7 − 2 = 5. Пара (1; 5).
• x = 3 → y = 7 − 6 = 1. Пара (3; 1).

Ответ: y = 7 − 2x; решения, например, (0; 7), (1; 5), (3; 1).

Пример 4. Найди решение уравнения x + 3y = 12, у которого x = 0. А затем — у которого y = 0.

Решение. При x = 0: 0 + 3y = 12, значит, 3y = 12, y = 4. Пара (0; 4). При y = 0: x + 3·0 = 12, значит, x = 12. Пара (12; 0).

Ответ: (0; 4) и (12; 0).

Пример 5. Построй график уравнения x + 2y = 4.

Решение. Найдём две точки. При x = 0: 2y = 4, y = 2 → точка (0; 2). При y = 0: x = 4 → точка (4; 0). Отмечаем обе точки и проводим через них прямую.

Ответ: прямая через точки (0; 2) и (4; 0).

Пример 6. При каком значении a пара (3; −1) является решением уравнения ax + 2y = 4?

Решение. Подставляем x = 3, y = −1: a·3 + 2·(−1) = 4 3a − 2 = 4 3a = 6 a = 2.

Ответ: a = 2.

💡 Запомни главное

• Линейное уравнение с двумя переменными: ax + by = c (a и b не нули сразу).
• Решение — это пара чисел (x; y), порядок важен: сначала x, потом y.
• Чтобы проверить пару — подставь оба числа и посмотри, верное ли равенство.
• Решений бесконечно много.
• График уравнения — прямая. Достаточно двух точек, удобно брать x = 0 и y = 0.

📝 Домашнее задание

1. Является ли пара (4; 1) решением уравнения 2x − 3y = 5?
2. Является ли пара (−2; 3) решением уравнения x + y = 1?
3. Вырази y через x из уравнения 5x + y = 8.
4. Вырази x через y из уравнения x − 4y = 10.
5. Найди три любых решения уравнения 3x − y = 6.
6. Найди решение уравнения 2x + 5y = 10, у которого x = 0, и решение, у которого y = 0.
7. Построй график уравнения x + y = 5 (найди две точки).
8. При каком значении b пара (1; 2) является решением уравнения 4x + by = 10?
9. ⭐ Запиши какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными, решением которого является пара (3; 4). (Подсказка: придумай уравнение и проверь подстановкой; вариантов много.)