Урок 2. Эратосфен измеряет Землю

Астрономия · ~35 минут

Больше двух тысяч лет назад, без спутников, самолётов и даже нормальных карт, один человек в Египте измерил размер всей планеты — с погрешностью всего в несколько процентов. Его инструментами были палка, тень, геометрия и голова. Это, возможно, самый красивый эксперимент в истории науки. Повторим его рассуждение шаг за шагом.

🎯 Что ты узнаешь

• Как тень от палки в полдень выдаёт угол наклона Солнца.
• Почему одновременные тени в двух городах дают угол между ними на поверхности Земли.
• Как из одного угла и одного расстояния получить радиус всей планеты.
• Что радиус Земли ≈ 6400 км, и как это проверить самому.

📖 Разбираемся в теме

Идея: Солнце далеко, лучи параллельны

Солнце так далеко (150 млн км!), что его лучи, приходя к Земле, идут практически параллельным пучком. Это ключ ко всему методу. Если бы Земля была плоской, тени от одинаковых палок в разных городах были бы одинаковой длины. Но они разные — значит, поверхность искривлена.

📌 Запомни: параллельные лучи + кривая поверхность = разные тени в разных местах. Именно разница теней измеряет кривизну.

Что заметил Эратосфен

Эратосфен (около 240 г. до н. э.) заведовал знаменитой библиотекой в Александрии. Он узнал, что в городе Сиене (нынешний Асуан, южнее по Нилу) в день летнего солнцестояния в полдень Солнце стоит точно в зените: солнечные лучи достают до дна глубоких колодцев, а вертикальные предметы не отбрасывают тени вовсе.

А в Александрии в тот же момент тень есть. Эратосфен воткнул вертикальный шест (гномон) и измерил угол между шестом и направлением на Солнце по длине тени. Получилось примерно 7,2° — это как раз 1/50 полного круга (360° / 50 = 7,2°).

Геометрия: угол при тени = угол между городами

Вот сердце метода. Угол тени в Александрии (7,2°) равен углу между двумя городами, если смотреть из центра Земли.

Почему? Лучи Солнца параллельны. Шест в Александрии — это продолжение радиуса Земли (он «смотрит» из центра планеты вверх). Угол между этим радиусом-шестом и параллельным лучом (то есть направлением «на Солнце, как в Сиене») — это накрест лежащий угол при секущей, пересекающей параллельные прямые. А такие углы равны. Значит, дуга между Сиеной и Александрией видна из центра Земли под тем же углом 7,2°.

💡 Красота метода: мы измерили угол на поверхности (тень от палки), а получили угол в центре Земли, куда никто заглянуть не может.

Считаем длину окружности

Дальше — чистая пропорция. Дуга в 7,2° — это 1/50 полной окружности. Эратосфен знал: расстояние от Александрии до Сиены ≈ 5000 стадиев (караваны шли это расстояние около 50 дней). Тогда вся окружность Земли: $$L = 50 \times 5000\ \text{стадиев} = 250,000\ \text{стадиев}.$$

Переведём в километры. Один египетский стадий ≈ 157–158 м, тогда $$L \approx 250,000 \times 0{,}158\ \text{км} \approx 39,500\ \text{км}.$$ Настоящая длина окружности Земли — около 40 000 км. Ошибка — считанные проценты. Для палки, тени и верёвки — это фантастика.

🤔 А знаешь ли ты? Метр когда-то определили так, чтобы расстояние от экватора до полюса было ровно 10 000 км. Поэтому длина всей окружности Земли ≈ 40 000 км — не совпадение, а следствие определения метра. Эратосфен «попал» в это число за 2000 лет до появления метра.

От окружности — к радиусу

Длина окружности связана с радиусом: $$L = 2\pi R \quad\Rightarrow\quad R = \frac{L}{2\pi}.$$ Подставим 40 000 км: $$R = \frac{40,000}{2 \cdot 3{,}14} \approx \frac{40,000}{6{,}28} \approx 6370\ \text{км}.$$ Это и есть радиус Земли ≈ 6400 км (точнее 6371 км). Всё — из тени палки.

📌 Запомни: радиус Земли R ≈ 6400 км, длина окружности ≈ 40 000 км, диаметр ≈ 12 700 км. Эти три числа стоит помнить наизусть — они пригодятся весь курс.

✍️ Разбор примера

Задача. В городе A вертикальный шест высотой 1 м отбрасывает в местный полдень тень длиной 0,20 м. В городе B, точно к югу и в тот же момент, тени нет вовсе. Расстояние между городами 800 км. Оцени радиус Земли.

Решение. Сначала угол наклона Солнца в городе A. Тень и шест образуют прямоугольный треугольник, где $$\tan\alpha = \frac{\text{тень}}{\text{высота}} = \frac{0{,}20}{1} = 0{,}20 \quad\Rightarrow\quad \alpha \approx 11{,}3°.$$ Этот угол равен углу между городами из центра Земли. Дуга 800 км соответствует 11,3°. Найдём полную окружность пропорцией: $$L = 800\ \text{км} \times \frac{360°}{11{,}3°} \approx 800 \times 31{,}9 \approx 25,500\ \text{км}.$$ Тогда радиус: $$R = \frac{L}{2\pi} = \frac{25,500}{6{,}28} \approx 4060\ \text{км}.$$ Получилось меньше настоящего (6400 км) — потому что числа в задаче я взял «учебные». Но метод — ровно тот же, что у Эратосфена. Главное — ты видишь всю цепочку: тень → угол → доля круга → окружность → радиус.

📝 Задачи

1. Угол тени в Александрии 7,2°. Какую долю полного круга (360°) он составляет? Во сколько раз длина окружности Земли больше расстояния Александрия — Сиена?
2. Расстояние Александрия — Сиена ≈ 800 км (в километрах). Пользуясь углом 7,2°, получи длину окружности Земли и её радиус. Сравни с 6400 км.
3. Почему для метода Эратосфена принципиально, чтобы лучи Солнца были параллельны? Что изменилось бы в рассуждении, будь Солнце близко (например, на высоте 10 000 км)?
4. В городе шест высотой 2 м даёт тень 0,35 м в полдень. Найди угол наклона Солнца от вертикали (через tan).
5. Два города лежат на одном меридиане, расстояние между ними 1100 км. Тени одновременно показывают углы 5° и 15° от вертикали. Оцени радиус Земли. (Подсказка: важна разность углов.)
6. Длина окружности Земли ≈ 40 000 км. Самолёт летит со скоростью 900 км/ч. За сколько часов он облетел бы Землю по экватору без остановок?
7. Оцени: на сколько километров надо отойти вдоль меридиана, чтобы высота Полярной звезды над горизонтом изменилась на 1°? (Подсказка: 360° соответствуют всей окружности.)
8. Эратосфен ошибся бы, если бы Сиена лежала не точно к югу от Александрии, а сильно к востоку. Объясни, почему направление «строго по меридиану» (север — юг) важно для метода.