Урок 5. Тяготение и орбиты

Астрономия · ~35 минут

Почему яблоко падает, а Луна — нет? Ньютон понял, что это один и тот же закон: яблоко и Луна падают одинаково, просто Луна летит вбок так быстро, что всё время «промахивается» мимо Земли. Один закон тяготения объясняет и упавшее яблоко, и орбиты планет, и то, с какой скоростью надо разогнать ракету, чтобы она не вернулась. Разберёмся, как это работает.

🎯 Что ты узнаешь

• Закон всемирного тяготения и почему сила убывает как 1/r².
• Почему Луна «падает, но не падает» — идея орбиты.
• Три закона Кеплера, и что означает T² ~ a³.
• Как оценить первую космическую скорость (≈ 8 км/с).

📖 Разбираемся в теме

Закон всемирного тяготения

Ньютон предположил: любые два тела притягиваются. Сила тем больше, чем массивнее тела, и быстро слабеет с расстоянием: $$F = G,\frac{m_1 m_2}{r^{2}},$$ где $G \approx 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н·м}^2/\text{кг}^2$ — гравитационная постоянная, r — расстояние между центрами тел.

Ключевое здесь — 1/r². Удвой расстояние — сила упадёт вчетверо. Утрой — в девять раз.

🤔 А знаешь ли ты? Закон «обратных квадратов» появляется всюду, где что-то расходится от точки во все стороны: свет, звук, гравитация. Причина геометрическая — поверхность сферы растёт как r², и «поток» размазывается по ней. Об этом мы ещё вспомним в уроке 6, говоря о яркости звёзд.

Ускорение свободного падения

У поверхности Земли на тело массой m действует сила $$F = G\frac{M_{\oplus},m}{R_{\oplus}^{2}} = m,g,$$ откуда ускорение свободного падения $$g = \frac{G M_{\oplus}}{R_{\oplus}^{2}}.$$ Подставим массу Земли $M_{\oplus}=6\cdot10^{24}$ кг и радиус $R_{\oplus}=6{,}4\cdot10^{6}$ м: $$g = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 6\cdot10^{24}}{(6{,}4\cdot10^{6})^{2}} \approx \frac{4\cdot10^{14}}{4{,}1\cdot10^{13}} \approx 9{,}8\ \text{м/с}^2.$$ Знакомое число! То же g, что и у падающего яблока, — прямо из закона тяготения.

Луна падает, но не падает

Ньютон представил пушку на высокой горе. Слабый выстрел — ядро падает недалеко. Сильнее — падает дальше, огибая выпуклость Земли. Достаточно сильный — ядро всё время падает, но Земля всё время «уходит» из-под него, и оно летит по кругу. Это и есть орбита.

📌 Запомни: орбита — это непрерывное падение «мимо» планеты. Спутник не «висит» и не «выключил гравитацию» — он падает, но его боковая скорость так велика, что он промахивается.

Проверим для Луны. На орбите тело движется с центростремительным ускорением $a = v^2/r$, и его обеспечивает тяготение. Ускорение свободного падения на расстоянии Луны (r ≈ 60 R⊕) должно быть в $60^2 = 3600$ раз слабее, чем у поверхности: $$a_{\text{Луны}} = \frac{g}{3600} \approx \frac{9{,}8}{3600} \approx 0{,}0027\ \text{м/с}^2.$$ Скорость Луны на орбите ≈ 1 км/с, радиус орбиты 3,84·10⁸ м. Проверим через $a = v^2/r$: $$a = \frac{(1000)^2}{3{,}84\cdot10^{8}} \approx \frac{10^{6}}{3{,}84\cdot10^{8}} \approx 0{,}0026\ \text{м/с}^2.$$ Два способа дали одно и то же! Это и был триумф Ньютона: тот же закон, что роняет яблоко, удерживает Луну.

Три закона Кеплера

Ещё до Ньютона Кеплер вывел из наблюдений три правила движения планет.

1-й закон. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого — Солнце. (Орбиты близки к кругам, но не идеальны.)

2-й закон. Отрезок «Солнце — планета» за равные времена заметает равные площади. Значит, вблизи Солнца планета движется быстрее, вдали — медленнее.

3-й закон. Для любой планеты квадрат периода обращения пропорционален кубу большой полуоси орбиты: $$T^{2} \sim a^{3},\quad\text{точнее}\quad \frac{T^{2}}{a^{3}} = \text{const для всех планет.}$$

💡 Удобная форма: если T мерить в годах, а a — в а.е., то для Солнечной системы просто $T^2 = a^3$. Проверь на Земле: a = 1, T = 1 — сходится. На Юпитере a = 5,2, тогда $T = \sqrt{5{,}2^3} = \sqrt{140} \approx 11{,}9$ года — так и есть!

📌 Запомни: 3-й закон Кеплера связывает период и размер орбиты. Зная одно, находишь другое. Ньютон показал, что этот закон — прямое следствие тяготения ~1/r².

Первая космическая скорость

С какой скоростью надо лететь у поверхности планеты, чтобы двигаться по круговой орбите (не падать обратно)? Тяготение должно давать ровно центростремительное ускорение: $$\frac{v^2}{R} = g \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{gR}.$$ Подставим g = 9,8 м/с² и R = 6,4·10⁶ м: $$v = \sqrt{9{,}8 \cdot 6{,}4\cdot10^{6}} = \sqrt{6{,}3\cdot10^{7}} \approx 7{,}9\cdot10^{3}\ \text{м/с} \approx 8\ \text{км/с}.$$ Вот она — первая космическая скорость ≈ 8 км/с. Разгонишь тело до 8 км/с горизонтально — оно станет спутником Земли.

⚠️ Не путай: первая космическая (≈ 8 км/с) — чтобы выйти на низкую круговую орбиту. Вторая космическая (≈ 11,2 км/с) — чтобы совсем убежать от притяжения Земли. Вторая больше первой в √2 раз.

✍️ Разбор примера

Задача. У Марса радиус ≈ 3400 км и g ≈ 3,7 м/с². Оцени первую космическую скорость для Марса и сравни с земной.

Решение. $$v = \sqrt{gR} = \sqrt{3{,}7 \cdot 3{,}4\cdot10^{6}} = \sqrt{1{,}26\cdot10^{7}} \approx 3{,}5\cdot10^{3}\ \text{м/с} \approx 3{,}5\ \text{км/с}.$$ Это примерно в 2,3 раза меньше земных 8 км/с — Марс легче и меньше, поэтому вывести спутник на его орбиту проще. Вот почему с малых тел (Луны, астероидов) взлетать «дёшево».

📝 Задачи

1. Во сколько раз изменится сила тяготения между телами, если расстояние между ними: (а) удвоить; (б) уменьшить в 3 раза; (в) увеличить в 10 раз?
2. На высоте, равной радиусу Земли (то есть на расстоянии 2R от центра), во сколько раз ускорение свободного падения меньше, чем на поверхности?
3. По 3-му закону Кеплера (T² = a³, T в годах, a в а.е.) найди период обращения Марса (a = 1,52 а.е.) и Нептуна (a = 30 а.е.).
4. Комета имеет период обращения 64 года. Оцени большую полуось её орбиты в а.е.
5. Оцени первую космическую скорость для Луны (g ≈ 1,6 м/с², R ≈ 1740 км). Во сколько раз она меньше земной?
6. Луна летит по орбите радиусом 3,84·10⁵ км со скоростью ≈ 1 км/с. Оцени период её обращения (длина орбиты / скорость). Сравни с настоящими 27,3 суток.
7. Ускорение свободного падения g = GM/R². Вырази из этой формулы массу Земли и оцени её, подставив g = 9,8, R = 6,4·10⁶ м, G = 6,67·10⁻¹¹.
8. Почему на низкой орбите космонавты в невесомости, хотя тяготение там почти такое же сильное, как на поверхности (падает всего на ~10%)? Объясни через идею «непрерывного падения».