Урок 5. Тяготение и орбиты

Астрономия

Почему яблоко падает, а Луна — нет? Ньютон понял, что это один и тот же закон: яблоко и Луна падают одинаково, просто Луна летит вбок так быстро, что всё время «промахивается» мимо Земли. Один закон тяготения объясняет и упавшее яблоко, и орбиты планет, и то, с какой скоростью надо разогнать ракету, чтобы она не вернулась. Разберёмся, как это работает.

🎯 Что ты узнаешь

Закон всемирного тяготения и почему сила убывает как 1/r².
Почему Луна «падает, но не падает» — идея орбиты.
Три закона Кеплера, и что означает T² ~ a³.
Как оценить первую космическую скорость (≈ 8 км/с).

📖 Разбираемся в теме

Закон всемирного тяготения

Ньютон предположил: любые два тела притягиваются. Сила тем больше, чем массивнее тела, и быстро слабеет с расстоянием:

F = G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}},

где $G \approx 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} Н \cdot м^{2} / кг^{2}$ — гравитационная постоянная, r — расстояние между центрами тел.

Ключевое здесь — 1/r². Удвой расстояние — сила упадёт вчетверо. Утрой — в девять раз.

🤔 А знаешь ли ты? Закон «обратных квадратов» появляется всюду, где что-то расходится от точки во все стороны: свет, звук, гравитация. Причина геометрическая — поверхность сферы растёт как r², и «поток» размазывается по ней. Об этом мы ещё вспомним в уроке 6, говоря о яркости звёзд.

Ускорение свободного падения

У поверхности Земли на тело массой m действует сила

F = G \frac{M _{\oplus} m}{R _{\oplus}^{2}} = m g,

откуда ускорение свободного падения

g = \frac{G M _{\oplus}}{R _{\oplus}^{2}} .

Подставим массу Земли $M_{\oplus} = 6 \cdot 1 0^{24}$ кг и радиус $R_{\oplus} = 6, 4 \cdot 1 0^{6}$ м:

g = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24}}{( 6 , 4 \cdot 1 0 ^{6} ) ^{2}} \approx \frac{4 \cdot 1 0 ^{14}}{4 , 1 \cdot 1 0 ^{13}} \approx 9, 8 м / с^{2} .

Знакомое число! То же g, что и у падающего яблока, — прямо из закона тяготения.

Луна падает, но не падает

Ньютон представил пушку на высокой горе. Слабый выстрел — ядро падает недалеко. Сильнее — падает дальше, огибая выпуклость Земли. Достаточно сильный — ядро всё время падает, но Земля всё время «уходит» из-под него, и оно летит по кругу. Это и есть орбита.

📌 Запомни: орбита — это непрерывное падение «мимо» планеты. Спутник не «висит» и не «выключил гравитацию» — он падает, но его боковая скорость так велика, что он промахивается.

Проверим для Луны. На орбите тело движется с центростремительным ускорением $a = v^{2} / r$ , и его обеспечивает тяготение. Ускорение свободного падения на расстоянии Луны (r ≈ 60 R⊕) должно быть в $6 0^{2} = 3600$ раз слабее, чем у поверхности:

a_{Луны} = \frac{g}{3600} \approx \frac{9 , 8}{3600} \approx 0, 0027 м / с^{2} .

Скорость Луны на орбите ≈ 1 км/с, радиус орбиты 3,84·10⁸ м. Проверим через $a = v^{2} / r$ :

a = \frac{( 1000 ) ^{2}}{3 , 84 \cdot 1 0 ^{8}} \approx \frac{1 0 ^{6}}{3 , 84 \cdot 1 0 ^{8}} \approx 0, 0026 м / с^{2} .

Два способа дали одно и то же! Это и был триумф Ньютона: тот же закон, что роняет яблоко, удерживает Луну.

Три закона Кеплера

Ещё до Ньютона Кеплер вывел из наблюдений три правила движения планет.

1-й закон. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого — Солнце. (Орбиты близки к кругам, но не идеальны.)

2-й закон. Отрезок «Солнце — планета» за равные времена заметает равные площади. Значит, вблизи Солнца планета движется быстрее, вдали — медленнее.

3-й закон. Для любой планеты квадрат периода обращения пропорционален кубу большой полуоси орбиты:

T^{2} \sim a^{3}, точнее \frac{T ^{2}}{a ^{3}} = const для всех планет .

💡 Удобная форма: если T мерить в годах, а a — в а.е., то для Солнечной системы просто $T^{2} = a^{3}$ . Проверь на Земле: a = 1, T = 1 — сходится. На Юпитере a = 5,2, тогда $T = 5, 2^{3} = 140 \approx 11, 9$ года — так и есть!

📌 Запомни: 3-й закон Кеплера связывает период и размер орбиты. Зная одно, находишь другое. Ньютон показал, что этот закон — прямое следствие тяготения ~1/r².

Первая космическая скорость

С какой скоростью надо лететь у поверхности планеты, чтобы двигаться по круговой орбите (не падать обратно)? Тяготение должно давать ровно центростремительное ускорение:

\frac{v ^{2}}{R} = g \Rightarrow v = g R .

Подставим g = 9,8 м/с² и R = 6,4·10⁶ м:

v = 9, 8 \cdot 6, 4 \cdot 1 0^{6} = 6, 3 \cdot 1 0^{7} \approx 7, 9 \cdot 1 0^{3} м / с \approx 8 км / с .

Вот она — первая космическая скорость ≈ 8 км/с. Разгонишь тело до 8 км/с горизонтально — оно станет спутником Земли.

⚠️ Не путай: первая космическая (≈ 8 км/с) — чтобы выйти на низкую круговую орбиту. Вторая космическая (≈ 11,2 км/с) — чтобы совсем убежать от притяжения Земли. Вторая больше первой в √2 раз.

✍️ Разбор примера

Задача. У Марса радиус ≈ 3400 км и g ≈ 3,7 м/с². Оцени первую космическую скорость для Марса и сравни с земной.

Решение.

v = g R = 3, 7 \cdot 3, 4 \cdot 1 0^{6} = 1, 26 \cdot 1 0^{7} \approx 3, 5 \cdot 1 0^{3} м / с \approx 3, 5 км / с .

Это примерно в 2,3 раза меньше земных 8 км/с — Марс легче и меньше, поэтому вывести спутник на его орбиту проще. Вот почему с малых тел (Луны, астероидов) взлетать «дёшево».

📝 Задачи

Во сколько раз изменится сила тяготения между телами, если расстояние между ними: (а) удвоить; (б) уменьшить в 3 раза; (в) увеличить в 10 раз?
На высоте, равной радиусу Земли (то есть на расстоянии 2R от центра), во сколько раз ускорение свободного падения меньше, чем на поверхности?
По 3-му закону Кеплера (T² = a³, T в годах, a в а.е.) найди период обращения Марса (a = 1,52 а.е.) и Нептуна (a = 30 а.е.).
Комета имеет период обращения 64 года. Оцени большую полуось её орбиты в а.е.
Оцени первую космическую скорость для Луны (g ≈ 1,6 м/с², R ≈ 1740 км). Во сколько раз она меньше земной?
Луна летит по орбите радиусом 3,84·10⁵ км со скоростью ≈ 1 км/с. Оцени период её обращения (длина орбиты / скорость). Сравни с настоящими 27,3 суток.
Ускорение свободного падения g = GM/R². Вырази из этой формулы массу Земли и оцени её, подставив g = 9,8, R = 6,4·10⁶ м, G = 6,67·10⁻¹¹.
Почему на низкой орбите космонавты в невесомости, хотя тяготение там почти такое же сильное, как на поверхности (падает всего на ~10%)? Объясни через идею «непрерывного падения».