Урок 17. Свойства параллельных прямых

Геометрия, 7 класс · Гл. III, §2 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Чем свойство параллельных отличается от признака (это разные вещи — путать нельзя!).
• Три свойства параллельных прямых: про накрест лежащие, соответственные и односторонние углы.
• Как, зная один угол при двух параллельных, мгновенно вычислить все восемь.

📖 Разбираемся в теме

На прошлых уроках мы научились узнавать параллельность: «если углы такие-то — то прямые параллельны». Это были признаки. А теперь повернём стрелку в обратную сторону: «прямые уже параллельны — а что мы можем сказать про углы?» Это будут свойства. Грубо говоря, признаки и свойства — это «туда» и «обратно».

💡 Лайфхак: Различай:

• Признак: углы такие → значит, прямые параллельны (доказываем параллельность).
• Свойство: прямые параллельны → значит, углы такие (используем готовую параллельность для вычислений). Это «обратные» друг другу теоремы.

Три свойства

📏 Свойство 1: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

📏 Свойство 2: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

📏 Свойство 3: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Идея доказательства свойства 1. Пусть a ∥ b, секущая c. Предположим, накрест лежащие углы не равны. Тогда через ту же точку на секущей можно провести другую прямую, которая даст с секущей такой накрест лежащий угол, равный углу у прямой a, — и по признаку 1 эта новая прямая будет параллельна a. Получится, что через одну точку проходят две прямые, параллельные a (сама b и эта новая). А это запрещено аксиомой параллельных! Противоречие. Значит, накрест лежащие углы всё-таки равны.

Свойства 2 и 3 выводятся из свойства 1 моментально:

• соответственные равны накрест лежащим как вертикальные → значит, тоже равны;
• односторонний угол — смежный с накрест лежащим, а смежные дают в сумме 180° → значит, сумма односторонних = 180°.

⚠️ Частая ошибка: Свойства работают только если прямые параллельны! Если про параллельность ничего не сказано — равенства углов нет. Сначала убедись, что в условии есть «a ∥ b» (или это доказано), и лишь потом пиши «накрест лежащие равны».

Главный трюк: один угол → все восемь

Если прямые параллельны, то среди восьми углов всего два разных значения, и они в сумме дают 180°. Зная один угол (например, 70°), сразу получаешь все:

• все углы, равные ему (вертикальные, накрест лежащие, соответственные) = 70°;
• все смежные с ним (односторонние, смежные) = 180° − 70° = 110°.

💡 Лайфхак: «Острые равны острым, тупые равны тупым, острый + тупой = 180°». Это всё, что нужно помнить для вычисления углов при параллельных.

⏱ Начерти сам: Проведи a ∥ b и секущую. Подпиши один из углов как 65°. Не измеряя, проставь значения всех остальных семи углов.

✍️ Разбор задач

Задача 1. Дано: a ∥ b, секущая c; один из накрест лежащих углов равен 48°. Найти: второй накрест лежащий угол. Решение.

1. a ∥ b — значит, работает свойство 1: накрест лежащие углы равны.
2. Второй накрест лежащий = 48°. Ответ: 48°.

Задача 2. Дано: a ∥ b, секущая c; соответственный угол равен 123°. Найти: второй соответственный угол. Решение.

1. По свойству 2 соответственные углы при параллельных равны.
2. Второй = 123°. Ответ: 123°.

Задача 3. Дано: a ∥ b, секущая c; один из односторонних углов равен 105°. Найти: второй односторонний угол. Решение.

1. По свойству 3 сумма односторонних углов = 180°.
2. Второй = 180° − 105° = 75°. Ответ: 75°.

Задача 4. Дано: a ∥ b, секущая c; угол ∠1 = 70° (см. Рис. 1). Найти: все остальные углы ∠2…∠8. Решение.

1. ∠1 = 70°.
2. Смежные с ∠1: ∠2 = 180° − 70° = 110° и ∠4 = 110°.
3. Вертикальный к ∠1: ∠3 = 70°.
4. По параллельности «копируем» углы вниз: соответственные равны.
   • ∠5 = ∠1 = 70° (соответственные), ∠7 = 70°.
   • ∠6 = ∠2 = 110° (соответственные), ∠8 = 110°. Ответ: углы по 70°: ∠1, ∠3, ∠5, ∠7; углы по 110°: ∠2, ∠4, ∠6, ∠8.

Задача 5. Дано: a ∥ b; накрест лежащие углы при секущей равны (3x + 10)° и (5x − 30)°. Найти: x и величину этих углов. Решение.

1. По свойству 1 накрест лежащие при параллельных равны: 3x + 10 = 5x − 30.
2. 10 + 30 = 5x − 3x → 40 = 2x → x = 20.
3. Угол: 3·20 + 10 = 70°. Ответ: x = 20, углы по 70°.

Задача 6. Дано: a ∥ b; односторонние углы относятся как 2 : 3. Найти: величины этих углов. Решение.

1. По свойству 3 их сумма = 180°.
2. Части: 2x + 3x = 180° → 5x = 180° → x = 36°.
3. Углы: 2·36 = 72° и 3·36 = 108°. Ответ: 72° и 108°.

💡 Запомни главное

• Свойство = обратная сторона признака: прямые параллельны → углы такие.
• При параллельных прямых, пересечённых секущей:
  1. накрест лежащие углы равны;
  2. соответственные углы равны;
  3. сумма односторонних углов = 180°.
• Доказываются от противного через аксиому параллельных.
• Зная один угол, находишь все восемь: «острые = острым, тупые = тупым, острый + тупой = 180°».
• Свойства применимы, только если параллельность дана или доказана!

📝 Домашнее задание

1. Объясни своими словами разницу между признаком и свойством параллельных прямых.
2. Сформулируй три свойства параллельных прямых.
3. a ∥ b, секущая. Один накрест лежащий угол равен 53°. Найди второй.
4. a ∥ b. Соответственный угол равен 118°. Найди второй соответственный.
5. a ∥ b. Один из односторонних углов равен 64°. Найди второй.
6. a ∥ b, один из восьми углов равен 40°. Найди все остальные семь.
7. a ∥ b; накрест лежащие углы равны (2x + 15)° и (4x − 25)°. Найди x и сам угол.
8. a ∥ b; односторонние углы относятся как 4 : 5. Найди оба угла.
9. ⭐ a ∥ b, секущая. Один из углов на 40° больше своего одностороннего соседа. Найди оба этих угла.