Урок 18. Теорема о сумме углов треугольника

Геометрия, 7 класс · Гл. IV, §1 учебника Атанасяна · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Чему равна сумма всех трёх углов любого треугольника — и почему это всегда так.
• Как доказать эту теорему с помощью одной хитрой параллельной прямой.
• Как по двум известным углам мгновенно находить третий.
• Какие бывают треугольники по углам: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный.

📖 Разбираемся в теме

Возьми любой треугольник — крошечный или огромный, узкий или широкий, хоть нарисуй его сам как попало. А теперь представь фокус: вырежи его из бумаги, оторви все три уголка и сложи их вершинами в одну точку. Что получится?

Получится... ровная прямая линия! Уголки сложатся в развёрнутый угол. А развёрнутый угол — это 180°. И так будет с любым треугольником, который ты нарисуешь. Это не совпадение, а закон геометрии.

⏱ Начерти сам: нарисуй на бумаге треугольник, вырежи его, оторви три угла и приложи их друг к другу вершинами. Убедись, что вместе они дают прямую линию.

📏 Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство — с помощью параллельной прямой

Фокус с бумагой — это здорово, но геометры так не доказывают: нужны строгие рассуждения. И тут нам поможет один умный приём.

Проведём через вершину C прямую, параллельную стороне AB. Назовём её a. Теперь у вершины C собрались сразу три угла, которые вместе образуют развёрнутый угол (то есть 180°): два «новых» по краям и наш угол 3 посередине.

Теперь вспоминаем накрест лежащие углы при параллельных прямых (это мы проходили в главе о параллельных прямых):

1. AB ∥ a, а сторона AC — секущая. Тогда угол 1 = «новому» левому углу при вершине C (накрест лежащие углы равны).
2. AB ∥ a, а сторона BC — секущая. Тогда угол 2 = «новому» правому углу при вершине C.
3. Три угла при вершине C лежат на прямой a и вместе составляют развёрнутый угол: «левый» + угол 3 + «правый» = 180°.

Заменяем «левый» на угол 1, а «правый» на угол 2 и получаем:

угол 1 + угол 3 + угол 2 = 180°.

А это и есть сумма углов треугольника! Что и требовалось доказать. ∎

💡 Лайфхак: Запомни число 180 — это «бюджет» углов любого треугольника. Сколько ни перекраивай треугольник, сумма углов всегда ровно 180°, ни градусом больше.

Самое полезное следствие

Если ты знаешь два угла треугольника — третий находится одним вычитанием:

📌 Следствие: Если два угла треугольника равны α и β, то третий угол равен 180° − α − β.

⚠️ Частая ошибка: Не существует треугольника с двумя прямыми углами (90° + 90° = 180°, и на третий угол уже ничего не остаётся — он был бы 0°). И тем более не бывает двух тупых углов в одном треугольнике.

Виды треугольников по углам

Раз «бюджет» равен 180°, посмотрим, как треугольник может его «потратить».

📐 Определение:

• Остроугольный треугольник — все три угла острые (меньше 90°).
• Прямоугольный треугольник — один угол прямой (равен 90°).
• Тупоугольный треугольник — один угол тупой (больше 90°).

🤔 А знаешь ли ты? Правило «сумма углов = 180°» работает только на плоскости! На поверхности шара (например, на глобусе Земли) сумма углов треугольника больше 180°. Геометрию на искривлённых поверхностях придумали в XIX веке, и именно она помогла Эйнштейну описать притяжение и космос. Так что наш простой треугольник — дверь в большую науку.

✍️ Разбор задач

Задача 1. Два угла треугольника равны 50° и 70°. Найди третий угол.

Дано: ∠A = 50°, ∠B = 70°. Найти: ∠C.

Решение. Сумма углов треугольника равна 180°, значит: ∠C = 180° − ∠A − ∠B = 180° − 50° − 70° = 60°.

Ответ: 60°.

Задача 2. В треугольнике все углы равны. Найди каждый из них.

Дано: ∠A = ∠B = ∠C. Найти: величину каждого угла.

Решение. Пусть каждый угол равен x. Тогда x + x + x = 180°, то есть 3x = 180°, откуда x = 60°.

Ответ: каждый угол равен 60° (это равносторонний треугольник).

Задача 3. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 35°. Найди второй острый угол.

Дано: ∠C = 90°, ∠A = 35°. Найти: ∠B.

Решение. Сумма всех углов 180°, один из них 90°. Значит, на два острых угла остаётся 180° − 90° = 90°. Тогда ∠B = 90° − 35° = 55°.

Ответ: 55°.

Задача 4. Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найди эти углы.

Дано: ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4. Найти: ∠A, ∠B, ∠C.

Решение. Пусть одна «часть» равна x. Тогда углы равны 2x, 3x и 4x. Их сумма 180°: 2x + 3x + 4x = 180°, то есть 9x = 180°, откуда x = 20°. Тогда ∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80°.

Проверка: 40 + 60 + 80 = 180. ✓ Все углы острые — треугольник остроугольный.

Ответ: 40°, 60°, 80°.

Задача 5. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 100°. Найди углы при основании.

Дано: треугольник равнобедренный, угол при вершине ∠C = 100°. Найти: углы при основании ∠A и ∠B.

Решение. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠A = ∠B. На них вместе остаётся 180° − 100° = 80°. Значит, каждый: 80° ÷ 2 = 40°.

Ответ: по 40°.

Задача 6. Может ли существовать треугольник с углами 80°, 60° и 50°?

Дано: три угла 80°, 60°, 50°. Найти: существует ли такой треугольник.

Решение. Проверим сумму: 80° + 60° + 50° = 190°. Это больше 180°, а у треугольника сумма углов строго равна 180°. Значит, такого треугольника нет.

Ответ: не существует (сумма углов 190° ≠ 180°).

💡 Запомни главное

• Сумма углов любого треугольника равна 180°.
• Доказательство: проводим через вершину прямую, параллельную противоположной стороне, и используем накрест лежащие углы.
• Третий угол = 180° − (сумма двух других).
• В прямоугольном треугольнике два острых угла дают в сумме 90°.
• По углам: остроугольный (все < 90°), прямоугольный (один = 90°), тупоугольный (один > 90°).

📝 Домашнее задание

1. Два угла треугольника равны 45° и 65°. Найди третий.
2. Найди углы треугольника, если они равны и треугольник равносторонний (объясни ход).
3. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 28°. Найди второй острый угол.
4. Один угол треугольника 90°, другой 47°. Какой треугольник по углам? Найди третий угол.
5. Углы треугольника относятся как 1 : 2 : 3. Найди их. Какой это треугольник по углам?
6. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 70°. Найди угол при вершине.
7. Может ли треугольник иметь два тупых угла? Объясни.
8. В треугольнике ∠A в два раза больше ∠B, а ∠C = 60°. Найди ∠A и ∠B.
9. ⭐ В треугольнике ABC ∠A = 40°. Биссектриса угла B и биссектриса угла C пересекаются в точке O. Найди угол BOC. (Подсказка: сначала найди ∠B + ∠C, потом половины этих углов.)