Урок 19. Внешний угол треугольника

Геометрия, 7 класс · Гл. IV, §1 учебника Атанасяна · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое внешний угол треугольника и чем он отличается от обычного (внутреннего).
• Главную теорему: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
• Почему внешний угол всегда больше каждого из этих двух углов.
• Как с помощью внешнего угла решать задачи быстрее, чем «в лоб».

📖 Разбираемся в теме

Представь, что ты идёшь по дороге, которая образует сторону треугольника, доходишь до вершины — и вместо того чтобы повернуть внутрь треугольника, продолжаешь шагать дальше, за вершину. Сторона как бы «вылезает наружу». Угол, который при этом образуется снаружи треугольника, и называют внешним.

📐 Определение: Внешний угол треугольника — это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника. Чтобы его получить, нужно продлить одну из сторон треугольника за вершину.

На рисунке мы продлили сторону AB за точку B до точки D. Угол CBD — внешний угол треугольника при вершине B. Он смежный с внутренним углом B (углом ABC).

💡 Лайфхак: Внутренний и внешний угол при одной вершине — соседи (смежные). А смежные углы в сумме дают 180°. Значит, внешний угол = 180° − внутренний угол. Это уже мощный инструмент!

Главная теорема урока

А теперь — самое красивое. Внешний угол связан не только со «своим» внутренним соседом, но и с двумя другими углами треугольника.

📏 Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Что значит «не смежных с ним»? У внешнего угла при вершине B есть сосед — внутренний угол B. А «не смежные» — это два оставшихся угла: угол A и угол C. Теорема говорит: внешний угол при B = ∠A + ∠C.

Доказательство

Это докажем легко — у нас уже есть теорема о сумме углов треугольника.

1. Внутренний угол B и внешний угол при B — смежные, значит их сумма 180°: ∠B + (внешний) = 180°, откуда внешний = 180° − ∠B.
2. Сумма всех углов треугольника равна 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180°, откуда ∠A + ∠C = 180° − ∠B.
3. В правых частях обоих равенств стоит одно и то же — «180° − ∠B». Значит, и левые части равны: внешний = ∠A + ∠C.

Что и требовалось доказать. ∎

📌 Следствие: Внешний угол треугольника больше каждого из двух не смежных с ним внутренних углов. (Ведь он равен их сумме, а каждое слагаемое меньше суммы — углы-то положительные.)

⚠️ Частая ошибка: Складывать со внешним углом все три внутренних или прибавлять «своего» соседа. Нет! Внешний угол равен сумме именно двух углов — тех, что лежат в других вершинах, не рядом с ним.

⏱ Начерти сам: нарисуй треугольник, продли одну сторону за вершину и от руки прикинь, какие два угла «складываются» во внешний. Проверь: внешний должен оказаться больше каждого из них.

🤔 А знаешь ли ты? У каждой вершины треугольника можно построить два внешних угла (продлить сторону можно в каждую из двух сторон). Но они равны между собой как вертикальные. Так что обычно говорят просто «внешний угол при вершине».

✍️ Разбор задач

Задача 1. Внешний угол треугольника при вершине C равен 120°. Один из внутренних углов, не смежных с ним, равен 50°. Найди второй такой угол.

Дано: внешний угол при C = 120°, ∠A = 50°. Найти: ∠B.

Решение. По теореме о внешнем угле: внешний = ∠A + ∠B. 120° = 50° + ∠B, откуда ∠B = 120° − 50° = 70°.

Ответ: 70°.

Задача 2. В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 60°. Найди внешний угол при вершине C.

Дано: ∠A = 40°, ∠B = 60°. Найти: внешний угол при C.

Решение. Внешний угол при C равен сумме двух не смежных с ним углов — это углы A и B: внешний = ∠A + ∠B = 40° + 60° = 100°.

Проверка: внутренний угол C = 180° − 40° − 60° = 80°. Внешний = 180° − 80° = 100°. ✓

Ответ: 100°.

Задача 3. Внешний угол при вершине треугольника равен 95°. Найди внутренний угол при этой же вершине.

Дано: внешний угол = 95°. Найти: смежный с ним внутренний угол.

Решение. Внешний и внутренний углы при одной вершине — смежные, их сумма 180°. Внутренний = 180° − 95° = 85°.

Ответ: 85°.

Задача 4. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 65°. Найди внешний угол при вершине, противолежащей основанию.

Дано: треугольник равнобедренный, углы при основании по 65°. Найти: внешний угол при вершине.

Решение. Внешний угол при вершине равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов — а это как раз два угла при основании: внешний = 65° + 65° = 130°.

Ответ: 130°.

Задача 5. Внешний угол треугольника равен 140°, а два не смежных с ним внутренних угла равны между собой. Найди эти углы.

Дано: внешний угол = 140°, два не смежных угла равны. Найти: эти углы.

Решение. Сумма двух не смежных углов равна внешнему: их сумма 140°. Раз они равны, каждый: 140° ÷ 2 = 70°.

Ответ: по 70°.

Задача 6. Докажи, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Дано: треугольник ABC, внешний угол при C. Доказать: он больше угла A и больше угла B.

Решение. По теореме внешний угол при C = ∠A + ∠B. Так как ∠A и ∠B — положительные величины, сумма больше каждого слагаемого: ∠A + ∠B > ∠A и ∠A + ∠B > ∠B. Значит, внешний угол больше и ∠A, и ∠B. ∎

Ответ: доказано.

💡 Запомни главное

• Внешний угол получают, продлив сторону треугольника за вершину; он смежный с внутренним углом.
• Внешний угол + смежный внутренний = 180°.
• Теорема: внешний угол = сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
• Следствие: внешний угол больше каждого из этих двух углов.

📝 Домашнее задание

1. Внешний угол треугольника равен 110°. Найди смежный с ним внутренний угол.
2. В треугольнике ∠A = 35°, ∠B = 75°. Найди внешний угол при вершине C.
3. Внешний угол при вершине треугольника равен 130°, один из не смежных с ним углов равен 60°. Найди второй.
4. Внутренний угол треугольника равен 48°. Найди внешний угол при той же вершине.
5. В равнобедренном треугольнике угол при основании 50°. Найди внешний угол при вершине (противолежащей основанию).
6. Внешний угол треугольника равен 100°, а два не смежных с ним угла относятся как 2 : 3. Найди эти углы.
7. Может ли внешний угол треугольника быть равным 50°, если один из не смежных с ним внутренних углов равен 60°? Объясни.
8. ⭐ В треугольнике ABC внешний угол при вершине A равен 130°, внешний угол при вершине B равен 120°. Найди все три внутренних угла треугольника. (Подсказка: сначала найди внутренние углы A и B.)