Урок 20. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Геометрия, 7 класс · Гл. IV, §2 учебника Атанасяна · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

Главное правило: против большей стороны лежит больший угол — и наоборот.
Как по сторонам мгновенно расставить углы по «росту» (и обратно).
Почему в прямоугольном треугольнике гипотенуза — самая длинная сторона.
Признак равнобедренного треугольника: если два угла равны, то и стороны против них равны.

📖 Разбираемся в теме

Посмотри на любой треугольник и спроси себя: где у него самый «широкий» угол? Подсказка: напротив самой длинной стороны. А самый «узкий» уголок? Напротив самой короткой стороны. Звучит логично — и это настоящий закон геометрии.

Представь, что стороны — это распахнутые «ножки» циркуля, а угол между другими сторонами — это насколько широко циркуль раскрыт напротив. Чем длиннее сторона напротив угла, тем шире сам угол должен «раскрыться», чтобы её достать.

📏 Теорема 1: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

📏 Теорема 2 (обратная): В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Запомни, какая сторона какому углу «принадлежит»: сторона лежит против угла, если она его не касается. Сторона BC лежит против угла A, сторона AC — против угла B, сторона AB — против угла C.

Рис. 1. Против большей стороны AB лежит больший угол C

💡 Лайфхак: «Большой стороне — большой угол, маленькой — маленький». Стороны и углы стоят парами и идут «в ногу»: переставишь стороны по росту — углы выстроятся точно так же.

Как доказать первую теорему (в двух словах)

Пусть в треугольнике ABC сторона AB больше стороны AC. Отложим на большей стороне AB отрезок AK, равный AC. Получится равнобедренный треугольник ACK, в нём углы при основании равны. Дальше, аккуратно сравнивая углы (угол ACB содержит угол ACK целиком, а внешний угол AKC больше угла B), приходим к выводу: угол C больше угла B. То есть против большей стороны AB лежит больший угол C. Подробное доказательство есть в учебнике — здесь важно понять саму идею: большую сторону «подпирает» больший угол.

Главное следствие — про прямоугольный треугольник

📌 Следствие: В прямоугольном треугольнике гипотенуза (сторона, лежащая против прямого угла) — самая длинная сторона.

Почему? Прямой угол равен 90° — это самый большой угол в прямоугольном треугольнике (два других острые, меньше 90°). А против самого большого угла лежит самая большая сторона. Эта сторона и есть гипотенуза. Катеты (две стороны, образующие прямой угол) всегда короче гипотенузы.

Рис. 2. Гипотенуза AB лежит против прямого угла C и длиннее любого катета

⚠️ Частая ошибка: Решить, что катет может оказаться длиннее гипотенузы. Никогда! Гипотенуза — всегда самая длинная сторона прямоугольного треугольника.

Признак равнобедренного треугольника

Раньше мы знали: если треугольник равнобедренный (две стороны равны), то углы при основании равны. А что, если наоборот — мы видим два равных угла?

📏 Теорема (признак равнобедренного треугольника): Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (стороны, лежащие против равных углов, равны).

Это прямо вытекает из теоремы 2: равным углам соответствуют равные стороны (если бы одна сторона была больше, то и угол против неё был бы больше — но углы равны, значит и стороны равны).

Рис. 3. Равные углы при A и B ⇒ равные стороны CA и CB

🤔 А знаешь ли ты? Эту связь сторон и углов используют моряки и геодезисты. Измерив углы, под которыми виден далёкий объект, они вычисляют расстояния, не подходя к нему вплотную. Целая наука — триангуляция — стоит на том, что углы и стороны треугольника жёстко связаны.

⏱ Начерти сам: нарисуй треугольник с явно разными сторонами. Не измеряя транспортиром, предскажи, какой угол самый большой, а какой самый маленький. Потом проверь транспортиром.

✍️ Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC стороны равны: AB = 7 см, BC = 5 см, AC = 9 см. Расставь углы A, B, C по возрастанию.

Дано: AB = 7, BC = 5, AC = 9. Найти: порядок углов.

Решение. Против каждой стороны лежит угол: против AB (=7) — угол C; против BC (=5) — угол A; против AC (=9) — угол B. Стороны по возрастанию: BC (5) < AB (7) < AC (9). Значит и углы: ∠A < ∠C < ∠B.

Ответ: ∠A < ∠C < ∠B.

Задача 2. В треугольнике ∠A = 50°, ∠B = 70°, ∠C = 60°. Какая сторона самая длинная, какая самая короткая?

Дано: ∠A = 50°, ∠B = 70°, ∠C = 60°. Найти: самую длинную и короткую стороны.

Решение. Против большего угла — большая сторона. Самый большой угол B (70°) — против него лежит сторона AC, она самая длинная. Самый маленький угол A (50°) — против него сторона BC, она самая короткая.

Ответ: самая длинная — AC, самая короткая — BC.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 8 см, а гипотенуза 10 см. Подтверди, что гипотенуза — наибольшая сторона, и объясни почему.

Дано: катеты 6 и 8, гипотенуза 10, угол между катетами 90°. Доказать: гипотенуза наибольшая.

Решение. Гипотенуза лежит против прямого угла (90°). Прямой угол — наибольший в треугольнике, так как два других острые (меньше 90°). Против наибольшего угла лежит наибольшая сторона. Числа подтверждают: 10 > 8 > 6.

Ответ: гипотенуза (10 см) — наибольшая, потому что лежит против наибольшего, прямого, угла.

Задача 4. В треугольнике ABC угол A равен углу B. Что можно сказать о сторонах? Дано: ∠A = ∠B = 55°.

Дано: ∠A = ∠B = 55°. Найти: соотношение сторон.

Решение. Если два угла равны, то стороны против них равны (признак равнобедренного треугольника). Против ∠A лежит BC, против ∠B лежит AC. Значит BC = AC — треугольник равнобедренный с основанием AB. Третий угол C = 180° − 55° − 55° = 70°.

Ответ: BC = AC, треугольник равнобедренный; ∠C = 70°.

Задача 5. В треугольнике MNK ∠M = 40°, ∠N = 40°, MK = 6 см. Найди сторону NK.

Дано: ∠M = ∠N = 40°, MK = 6 см. Найти: NK.

Решение. Углы M и N равны, значит стороны против них равны. Против ∠M лежит NK, против ∠N лежит MK. Поэтому NK = MK = 6 см.

Ответ: NK = 6 см.

Задача 6. Может ли в треугольнике быть так: сторона a больше стороны b, но угол, лежащий против a, меньше угла, лежащего против b?

Дано: a > b. Найти: возможно ли, чтобы угол против a был меньше.

Решение. Нет. По теореме против большей стороны лежит больший угол. Раз a > b, то угол против a больше угла против b. Обратного быть не может.

Ответ: нет, невозможно.

💡 Запомни главное

Против большей стороны лежит больший угол (и наоборот: против большего угла — большая сторона).
Стороны и углы идут «парами по росту»: упорядочил стороны — углы выстроились так же.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза — наибольшая сторона (против прямого угла).
Признак равнобедренного: равны два угла ⇒ равны стороны против них.

📝 Домашнее задание

В треугольнике стороны равны 4 см, 6 см, 5 см. Расставь углы против них по возрастанию.
В треугольнике ∠A = 80°, ∠B = 40°, ∠C = 60°. Назови наибольшую и наименьшую стороны.
В прямоугольном треугольнике один острый угол 30°, другой 60°. Какая сторона самая длинная? Объясни.
В треугольнике ∠P = ∠Q. Что можно сказать о сторонах PR и QR?
В треугольнике DEF ∠D = ∠F = 65°, DE = 8 см. Найди EF.
В треугольнике ∠A = 90°. Сравни сторону BC со сторонами AB и AC.
Стороны треугольника 10 см, 10 см, 12 см. Какие углы равны и почему?
В треугольнике ABC ∠A = 100°. Может ли сторона AB быть самой длинной? Объясни.
⭐ В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠B = 70°. На стороне AC отметили точку M. Сравни отрезки и определи, какая из сторон AB, BC, AC наибольшая. (Подсказка: найди ∠C, затем сравни углы.)