Урок 21. Неравенство треугольника

Геометрия, 7 класс · Гл. IV, §2 учебника Атанасяна · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

Главное правило: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.
Как по трём числам мгновенно определить, можно ли из таких отрезков сложить треугольник.
Почему «напрямик всегда короче, чем в обход» — это и есть неравенство треугольника.
Как находить, в каких пределах может лежать длина третьей стороны.

📖 Разбираемся в теме

Представь: ты стоишь в точке A, а мороженое — в точке B. Как быстрее добраться? Конечно, по прямой! А если идти через точку C (сначала к C, потом к B) — путь будет длиннее. Это знает каждый, кто хоть раз срезал угол через газон.

Вот это житейское «напрямик короче» и есть неравенство треугольника. Путь по прямой AB всегда короче, чем путь в обход через C (то есть AC + CB).

Рис. 1. Путь AB короче пути AC + CB

📏 Теорема (неравенство треугольника): Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Для треугольника со сторонами a, b, c это сразу три неравенства:

a < b + c
b < a + c
c < a + b

💡 Лайфхак: Чтобы проверить, что три отрезка дают треугольник, не обязательно проверять все три неравенства. Достаточно проверить одно — для самой длинной стороны. Если она меньше суммы двух других — треугольник существует. Если самая длинная сторона больше или равна сумме двух других — треугольника нет.

Когда из трёх отрезков можно сложить треугольник

Возьми три палочки и попробуй сложить треугольник. Если две короткие вместе не дотягиваются до концов длинной — треугольник «не закроется», палочки просто лягут вдоль.

Рис. 2. Из 5, 4, 4 треугольник складывается; из 10, 3, 4 — нет (3 + 4 < 10)

⚠️ Частая ошибка: Думать, что подойдут любые три числа. Нет! Из отрезков 10, 3 и 4 треугольник не построишь: 3 + 4 = 7, а это меньше 10 — короткие стороны просто «не дотянутся». Всегда проверяй самую длинную сторону.

📌 Следствие: Если три отрезка таковы, что наибольший из них меньше суммы двух других, то из них можно составить треугольник.

Границы для третьей стороны

Иногда известны две стороны, и нужно понять, какой может быть третья. Из неравенства треугольника третья сторона x зажата с двух сторон:

(разность двух сторон) < x < (сумма двух сторон).

Например, если две стороны 7 и 4, то третья: 7 − 4 < x < 7 + 4, то есть 3 < x < 11.

🤔 А знаешь ли ты? Неравенство треугольника работает не только для палочек на парте. На нём держится навигация, GPS и даже алгоритмы поиска кратчайшего пути в компьютерных картах: машина «знает», что прямой маршрут не длиннее любого обходного, и это помогает быстрее считать дороги.

⏱ Начерти сам: возьми отрезки 6 см, 3 см и 2 см. Попробуй построить из них треугольник циркулем. Получится? Проверь правило: 3 + 2 = 5, а это меньше 6 — значит, не получится!

✍️ Разбор задач

Задача 1. Можно ли составить треугольник из отрезков 6 см, 8 см и 5 см?

Дано: стороны 6, 8, 5. Найти: существует ли треугольник.

Решение. Самая длинная сторона — 8. Проверим, меньше ли она суммы двух других: 6 + 5 = 11. Так как 8 < 11, треугольник существует.

Ответ: да, можно.

Задача 2. Можно ли составить треугольник из отрезков 2 см, 3 см и 7 см?

Дано: стороны 2, 3, 7. Найти: существует ли треугольник.

Решение. Самая длинная сторона — 7. Сумма двух других: 2 + 3 = 5. Так как 7 > 5, неравенство треугольника нарушено.

Ответ: нет, нельзя (7 > 2 + 3).

Задача 3. Две стороны треугольника равны 9 см и 4 см. В каких пределах может находиться третья сторона?

Дано: две стороны 9 и 4. Найти: границы третьей стороны x.

Решение. По неравенству треугольника:

x < 9 + 4 = 13 (третья меньше суммы двух других);
x > 9 − 4 = 5 (иначе сторона 9 была бы больше суммы 4 и x).

Значит, 5 < x < 13.

Ответ: 5 см < x < 13 см.

Задача 4. Может ли периметр треугольника быть равным 12 см, если одна сторона равна 7 см?

Дано: периметр 12 см, одна сторона 7 см. Найти: возможно ли это.

Решение. На две другие стороны остаётся 12 − 7 = 5 см. Но по неравенству треугольника сторона 7 должна быть меньше суммы двух других, то есть 7 < 5. Это неверно. Значит, такого треугольника нет.

Ответ: нет, не может.

Задача 5. Две стороны равнобедренного треугольника равны 3 см и 8 см. Найди его периметр.

Дано: равнобедренный треугольник, стороны 3 и 8. Найти: периметр.

Решение. У равнобедренного две стороны равны. Варианты: либо боковые по 3, либо боковые по 8.

Если стороны 3, 3, 8: проверим — 3 + 3 = 6 < 8, треугольник не существует. Отпадает.
Если стороны 8, 8, 3: проверим — 3 + 8 = 11 > 8, всё в порядке. Периметр: 8 + 8 + 3 = 19 см.

Рис. 3. Единственный возможный вариант: стороны 8, 8, 3

Ответ: 19 см.

Задача 6. Докажи, что в любом треугольнике сумма двух сторон больше третьей. (Кратко поясни геометрический смысл.)

Дано: треугольник ABC. Доказать: AB < AC + CB.

Решение. Отрезок AB — прямой путь из A в B. Путь через точку C (сначала AC, затем CB) — это путь «в обход». Кратчайшее расстояние между двумя точками — это отрезок (прямая), любой обходной путь длиннее. Значит, AB < AC + CB. Аналогично для двух других сторон. ∎

Ответ: доказано (прямой путь короче обходного).

💡 Запомни главное

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.
Чтобы проверить три отрезка, сравни самую длинную сторону с суммой двух других.
Треугольник существует ⟺ наибольшая сторона < суммы двух других.
Третья сторона лежит в пределах: (разность двух сторон) < x < (сумма двух сторон).

📝 Домашнее задание

Можно ли составить треугольник из отрезков 5 см, 7 см, 10 см?
Можно ли составить треугольник из отрезков 4 см, 4 см, 9 см?
Две стороны треугольника равны 12 см и 5 см. В каких пределах может быть третья сторона?
Две стороны треугольника равны 6 см и 6 см. В каких пределах может быть третья сторона?
Может ли существовать треугольник со сторонами 1 см, 2 см, 3 см? Объясни.
Стороны равнобедренного треугольника равны 5 см и 11 см. Найди его периметр.
Периметр треугольника 20 см, одна сторона 9 см. Может ли другая сторона быть равной 2 см? Объясни (проверь неравенство).
Из отрезков 3, 5, 6, 9 см выбери все тройки, из которых можно сложить треугольник.
⭐ Точки A и B находятся на расстоянии 10 км. Турист дошёл от A до B через промежуточный лагерь C, пройдя в сумме 14 км. Затем сократил путь и пошёл напрямую. Какое наименьшее целое число километров он мог сэкономить? (Подсказка: используй неравенство треугольника для AC + CB и AB.)