Урок 22. Прямоугольные треугольники и их свойства

Геометрия, 7 класс · Гл. IV, §3 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Как устроен прямоугольный треугольник: где у него катеты, а где гипотенуза.
• Почему сумма двух острых углов в нём всегда ровно 90°.
• Крутое свойство: катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы — и обратное к нему.
• Как этими свойствами щёлкать задачи как орешки.

📖 Разбираемся в теме

Посмотри на угол комнаты, на лист тетради, на экран телефона. Всюду прячутся прямые углы. А если разрезать прямоугольник по диагонали — получится самая знаменитая фигура всей геометрии: прямоугольный треугольник. На нём держится половина математики (а ещё строительство, навигация и компьютерная графика). Давай познакомимся поближе.

📐 Определение: Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой (равен 90°).

У такого треугольника стороны получают специальные имена.

📐 Определение: Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами.

Гипотенуза — всегда самая длинная сторона треугольника (запомни это, проверять себя удобно). Катеты — это те две «стенки», между которыми и зажат прямой угол.

💡 Лайфхак: Как не запутаться? Гипотенуза «прячется» от прямого угла — она всегда напротив него. Катеты же «держат» прямой угол с двух сторон, как руки.

Свойство 1. Сумма острых углов равна 90°

Вспомни главную теорему про треугольники: сумма всех трёх углов равна 180°. А у прямоугольного один угол уже занят — он 90°. Что остаётся двум другим?

📏 Теорема: Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Доказательство. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Один угол прямоугольного треугольника равен 90°. Значит, на два оставшихся угла приходится 180° − 90° = 90°. Что и требовалось. ∎

То есть острые углы прямоугольного треугольника дополняют друг друга до 90°. Знаешь один — мгновенно находишь второй: если один 35°, то другой 90° − 35° = 55°.

⏱ Посчитай сам: в прямоугольном треугольнике один острый угол равен 62°. Чему равен второй? (Ответ в конце урока — но ты ведь и сам справишься.)

Свойство 2. Катет против угла 30°

А вот теперь — настоящая жемчужина. Запомни её на всю жизнь, она выручает постоянно.

📏 Теорема: Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Давай разберём, почему так. Возьмём прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, а ∠A = 30°. Тогда против угла A лежит катет CB — вот про него и теорема: CB = ½·AB.

Доказательство (идея «достроим до зеркала»). Приложим к нашему треугольнику его точную копию, отразив через катет AC. Получится новый, большой треугольник ABD (точка D — отражённая B).

В нём угол при A теперь 30° + 30° = 60°. А угол при вершине B и угол при D — каждый по 60° (ведь ∠B = 90° − 30° = 60°). Значит, все три угла большого треугольника равны 60° — он равносторонний! Поэтому BD = AB. Но BD — это две наши маленькие CB, сложенные вместе: BD = 2·CB. Отсюда 2·CB = AB, то есть CB = ½·AB. ∎

📌 Обратное свойство: Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Это работает в обе стороны: увидел «катет = пол-гипотенузы» — смело пиши 30°. Увидел угол 30° — противолежащий катет вдвое короче гипотенузы.

⚠️ Частая ошибка: Половине гипотенузы равен катет против угла 30°, а не против угла 60°! Против 60° лежит другой, более длинный катет. Всегда смотри: «маленький угол — маленький (противолежащий) катет».

🤔 А знаешь ли ты? Треугольник с углами 30°-60°-90° — любимец строителей и художников. Его стороны относятся как 1 : √3 : 2, и эта пропорция встречается даже в кристаллах и пчелиных сотах.

✍️ Разбор задач

Задача 1. Дано: прямоугольный треугольник, ∠C = 90°, ∠A = 28°. Найти: ∠B. Решение. Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°. ∠B = 90° − 28° = 62°. Ответ: 62°.

Задача 2. Дано: прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°, ∠A = 30°, гипотенуза AB = 16 см. Найти: катет CB. Решение. Катет CB лежит против угла A = 30°. По теореме он равен половине гипотенузы. CB = ½ · 16 = 8 см. Ответ: 8 см.

Задача 3. Дано: прямоугольный треугольник, ∠C = 90°, катет, лежащий против угла A, равен 7 см, гипотенуза равна 14 см. Найти: ∠A. Решение. Катет равен 7 см, гипотенуза 14 см, значит катет = ½ гипотенузы (7 = ½ · 14). По обратному свойству угол против этого катета равен 30°. ∠A = 30°. Ответ: 30°.

Задача 4. Дано: прямоугольный треугольник, один острый угол втрое больше другого. Найти: оба острых угла. Решение. Пусть меньший угол равен x, тогда больший — 3x. Их сумма равна 90°. x + 3x = 90°, то есть 4x = 90°, x = 22,5°. Тогда 3x = 67,5°. Ответ: 22,5° и 67,5°.

Задача 5. Дано: прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°, ∠B = 60°, катет CB = 5 см. Найти: гипотенузу AB. Решение. Найдём ∠A: ∠A = 90° − 60° = 30°. Катет CB лежит против угла A = 30°, значит CB = ½·AB. Тогда AB = 2·CB = 2·5 = 10 см. Ответ: 10 см.

Задача 6. Дано: в прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла C проведена высота, а ∠A = 50°. Найти: угол между высотой CH и катетом CB (то есть ∠BCH). Решение. В треугольнике ABC: ∠B = 90° − 50° = 40°. Высота CH перпендикулярна AB, значит треугольник BCH прямоугольный (∠CHB = 90°). В нём ∠B = 40°, поэтому ∠BCH = 90° − 40° = 50°. Ответ: 50°.

💡 Запомни главное

• Гипотенуза — против прямого угла, самая длинная сторона. Катеты — две стороны при прямом угле.
• Сумма острых углов прямоугольного треугольника = 90°.
• Катет против угла 30° = половине гипотенузы. И наоборот: катет = ½ гипотенузы ⇒ угол против него 30°.
• Самая длинная сторона лежит против самого большого угла — а самый большой в прямоугольном треугольнике это прямой угол.

📝 Домашнее задание

1. В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 41°. Найди второй острый угол.
2. Назови, какая сторона будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике MNK, если ∠N = 90°.
3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 24 см, один из острых углов 30°. Найди катет, лежащий против этого угла.
4. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против острого угла, равен 9 см, а гипотенуза 18 см. Найди этот острый угол.
5. Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 2 : 3. Найди их.
6. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) ∠A = 60°, катет CB = 12 см. Найди гипотенузу AB.
7. Один острый угол прямоугольного треугольника на 16° больше другого. Найди оба угла.
8. В прямоугольном треугольнике ∠C = 90°, ∠B = 30°, гипотенуза AB = 7 см. Найди катет AC.
9. ⭐ В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена биссектриса острого угла A, причём ∠A = 40°. Найди угол между этой биссектрисой и катетом AC.