Урок 23. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Геометрия, 7 класс · Гл. IV, §3 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Почему у прямоугольных треугольников есть свои, особые признаки равенства — короче и проще обычных.
• Четыре признака: по двум катетам, по катету и острому углу, по гипотенузе и острому углу, по гипотенузе и катету.
• Как доказывать равенство треугольников быстро, не перебирая всё подряд.

📖 Разбираемся в теме

Помнишь обычные признаки равенства треугольников? По двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум углам, по трём сторонам. Они работают всегда. Но у прямоугольных треугольников есть приятный бонус: один угол у них уже известен — он прямой, 90°. А значит, чтобы доказать равенство, нужно меньше данных. Это как пароль, в котором первая цифра всем известна — остаётся подобрать поменьше остального.

Разберём все четыре признака. Везде считаем, что прямые углы у треугольников отмечены.

Признак 1. По двум катетам

📌 Признак: Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

А это, по сути, старый добрый признак «по двум сторонам и углу между ними»! Ведь катеты — это две стороны, а угол между ними — прямой, и он одинаков (90°) у обоих. Поэтому ничего нового доказывать не надо.

Признак 2. По катету и острому углу

📌 Признак: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Почему работает? У нас есть сторона (катет) и два прилежащих к ней угла: один острый (по условию равен) и один прямой (всегда 90°). А это уже знакомый признак «по стороне и двум прилежащим углам». Снова прямой угол делает за нас половину работы.

💡 Лайфхак: Острый угол может быть и не прилежащим, а противолежащим катету — всё равно треугольники окажутся равны. Ведь, зная один острый угол, второй мы находим как 90° минус первый. Так что «острый угол» в этом признаке можно понимать широко.

Признак 3. По гипотенузе и острому углу

📌 Признак: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Тут хитрость такая. Знаем острый угол — значит знаем и второй (90° минус он). Получается, у двух треугольников совпадают сторона (гипотенуза) и оба прилежащих к ней угла. И снова — признак «по стороне и двум прилежащим углам».

Признак 4. По гипотенузе и катету

А вот это — самый интересный признак, его стоит запомнить отдельно, потому что у обычных треугольников такого «по двум сторонам без угла между ними» нет!

📏 Признак (теорема): Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ прямые углы C и C₁, гипотенузы AB = A₁B₁ и катеты CB = C₁B₁. «Приложим» треугольники друг к другу равными катетами так, чтобы они оказались по разные стороны от общего катета — точки A и A₁ легли по разные стороны от прямой CB, а C₁ совместился с C. Получится большой треугольник ABA₁, в котором CB — высота к стороне AA₁ (она перпендикулярна AA₁, ведь оба угла прямые). В этом большом треугольнике две стороны равны: AB = A₁B (это бывшие гипотенузы). Значит, он равнобедренный, и высота CB является заодно медианой: AC = C A₁ = A₁C₁. Итак, у исходных треугольников совпали и вторые катеты AC = A₁C₁ — а тогда они равны по двум катетам. ∎

⚠️ Частая ошибка: Не путай! «По двум сторонам и углу между ними» требует, чтобы угол был между этими сторонами. У признака «по гипотенузе и катету» угол (прямой) лежит НЕ между ними — он против гипотенузы. У обычных треугольников такой набор равенство не гарантирует, а у прямоугольных — гарантирует. Это особый бонус.

🤔 А знаешь ли ты? В англоязычных учебниках эти признаки имеют забавные сокращения: LL (катет-катет), LA (катет-угол), HA (гипотенуза-угол) и HL (гипотенуза-катет). Удобно: четыре буквенные пары — четыре признака.

⏱ Подумай сам: даны два прямоугольных треугольника, у которых равны гипотенузы и по одному острому углу (24°). Равны ли треугольники? По какому признаку?

✍️ Разбор задач

Задача 1. Дано: треугольники ABC и A₁B₁C₁, ∠C = ∠C₁ = 90°, AC = A₁C₁, CB = C₁B₁. Доказать: △ABC = △A₁B₁C₁. Решение. У обоих треугольников равны катеты: AC = A₁C₁ и CB = C₁B₁. Значит, они равны по двум катетам (признак 1). Ответ: доказано.

Задача 2. Дано: ∠C = ∠C₁ = 90°, AB = A₁B₁ (гипотенузы), ∠A = ∠A₁. Доказать: △ABC = △A₁B₁C₁. Решение. Равны гипотенузы AB = A₁B₁ и по острому углу ∠A = ∠A₁. Значит, треугольники равны по гипотенузе и острому углу (признак 3). Ответ: доказано.

Задача 3. Дано: равнобедренный треугольник ABC с основанием AC; BH — высота, проведённая к основанию. Доказать: △ABH = △CBH. Решение. BH — высота, значит ∠BHA = ∠BHC = 90° — треугольники ABH и CBH прямоугольные. Гипотенузы: AB = CB (боковые стороны равнобедренного треугольника). Катет BH — общий. Значит, △ABH = △CBH по гипотенузе и катету (признак 4). Ответ: доказано.

Задача 4. Дано: отрезки AB и CD пересекаются в точке O, OA = OB, из A и B опущены перпендикуляры AM и BN на прямую CD. Доказать: AM = BN. Решение. Рассмотрим прямоугольные треугольники AMO и BNO (∠M = ∠N = 90°). Гипотенузы: OA = OB (по условию). Острые углы ∠AOM = ∠BON (вертикальные). Значит, △AMO = △BNO по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников AM = BN. Ответ: доказано.

Задача 5. Дано: в прямоугольных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ (∠C = ∠C₁ = 90°) катеты CB = C₁B₁ и острые углы ∠B = ∠B₁. Доказать: △ABC = △A₁B₁C₁. Решение. Катет CB прилежит к углу B. Дано: CB = C₁B₁ и ∠B = ∠B₁. Значит, треугольники равны по катету и прилежащему острому углу (признак 2). Ответ: доказано.

Задача 6. Дано: биссектриса BD угла B треугольника ABC, из точки D опущены перпендикуляры DM на сторону AB и DN на сторону BC. Доказать: DM = DN. Решение. Треугольники BMD и BND прямоугольные (∠M = ∠N = 90°). Гипотенуза BD — общая. Острые углы ∠MBD = ∠NBD (BD — биссектриса). Значит, △BMD = △BND по гипотенузе и острому углу. Отсюда DM = DN. Ответ: доказано. (Это, кстати, важное свойство: точки биссектрисы одинаково удалены от сторон угла!)

💡 Запомни главное

Четыре признака равенства прямоугольных треугольников:

1. По двум катетам.
2. По катету и острому углу.
3. По гипотенузе и острому углу.
4. По гипотенузе и катету.

Главная идея: прямой угол (90°) уже «дан бесплатно», поэтому данных нужно меньше. А признак «по гипотенузе и катету» — особенный, у обычных треугольников аналога нет.

📝 Домашнее задание

1. По какому признаку равны два прямоугольных треугольника, у которых равны оба катета?
2. По какому признаку равны прямоугольные треугольники с равными гипотенузами и равными острыми углами?
3. У двух прямоугольных треугольников равны гипотенуза и один из катетов. Равны ли треугольники? Назови признак.
4. В равнобедренном треугольнике из вершины угла при основании проведена высота. На какие два треугольника она делит исходный и почему они… (определи, прямоугольные ли они).
5. Точка биссектрисы угла удалена от одной стороны угла на 4 см. На сколько она удалена от другой стороны? Почему?
6. Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. Из A и B опущены перпендикуляры на прямую CD. Докажи, что эти перпендикуляры равны.
7. Можно ли утверждать, что два прямоугольных треугольника равны, если у них равны по два острых угла? Объясни.
8. ⭐ В треугольнике ABC высоты AH и CK равны. Докажи, что треугольник ABC равнобедренный (AB = CB). Подсказка: рассмотри прямоугольные треугольники AHC и CKA или AHB и CKB.