Урок 24. Расстояние от точки до прямой

Геометрия, 7 класс · Гл. IV, §3 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

Что такое наклонная и чем она отличается от перпендикуляра.
Почему перпендикуляр короче любой наклонной — и поэтому именно его длина называется расстоянием.
Что такое расстояние от точки до прямой и расстояние между параллельными прямыми.
Главное свойство: параллельные прямые везде на одинаковом расстоянии друг от друга.

📖 Разбираемся в теме

Представь: ты стоишь на берегу прямой реки и хочешь как можно быстрее добежать до воды. По какой дорожке бежать? Очевидно — по самой короткой, по прямой «напрямик», под прямым углом к берегу. Любой другой путь, наискосок, будет длиннее. Вот эта интуиция и есть вся суть сегодняшнего урока, только строго.

Перпендикуляр и наклонная

Возьмём прямую a и точку A, которая на ней не лежит. Опустим из A на прямую разные отрезки.

📐 Определение: Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, — это отрезок от точки до прямой, перпендикулярный этой прямой. Конец отрезка на прямой называется основанием перпендикуляра.

📐 Определение: Наклонная, проведённая из точки к прямой, — это любой отрезок, соединяющий точку с точкой прямой и не перпендикулярный ей. Конец на прямой — основание наклонной.

Рис. 1. AH — перпендикуляр (H — его основание), AM — наклонная (M — её основание)

📏 Теорема: Длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, меньше длины любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Доказательство. Рассмотрим треугольник AHM, где AH — перпендикуляр, AM — наклонная. В нём угол H прямой (90°), значит он и есть наибольший угол треугольника. Против большего угла лежит большая сторона. Против прямого угла H лежит сторона AM (это гипотенуза!), а против острого угла лежит катет AH. Значит, AM > AH. Перпендикуляр короче. ∎

💡 Лайфхак: Перпендикуляр — это гипотенуза или катет? Катет! Наклонная всегда гипотенуза в треугольнике «перпендикуляр–наклонная–кусок прямой». А гипотенуза длиннее катета. Вот и весь секрет, почему «напрямик» короче.

Расстояние от точки до прямой

Раз перпендикуляр — самый короткий путь от точки до прямой, именно его и берут как «расстояние».

📐 Определение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

⏱ Начерти сам: проведи прямую, поставь над ней точку и опусти перпендикуляр с помощью угольника. Его длина и есть расстояние. Проведи рядом пару наклонных — убедись, что они длиннее.

Расстояние между параллельными прямыми

А теперь — красивое свойство параллельных прямых.

📏 Теорема: Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Иначе говоря: какую точку на прямой a ни возьми, расстояние от неё до параллельной прямой b будет одним и тем же.

Доказательство (идея). Возьмём на прямой a две точки A и B и опустим из них перпендикуляры AH₁ и BH₂ на прямую b. Оба перпендикуляра перпендикулярны b, значит они параллельны друг другу. А раз AB ∥ b и AH₁ ∥ BH₂, то AH₁BH₂ — параллелограмм-«прямоугольник», и его противоположные стороны равны: AH₁ = BH₂. Получается, расстояние одинаково в любой точке. ∎

Рис. 2. AH₁ = BH₂ — расстояние между a и b одинаково в любой точке

📐 Определение: Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из них до другой прямой.

⚠️ Частая ошибка: Расстояние — это длина именно перпендикуляра, а не любого отрезка между прямыми! Если измеришь «наискосок», получишь больше, чем нужно. И ещё: между пересекающимися прямыми понятия «расстояние» нет (оно постоянно меняется и в точке пересечения равно нулю).

🤔 А знаешь ли ты? Именно из-за свойства «параллельные везде на одинаковом расстоянии» рельсы железной дороги не сходятся и не расходятся — поезд едет безопасно. А кажущееся «схождение» рельсов вдали — это всего лишь обман зрения, перспектива.

✍️ Разбор задач

Задача 1. Дано: из точки A к прямой проведены перпендикуляр длиной 6 см и наклонная длиной 10 см. Найти: что больше и на сколько; что из этого — расстояние от A до прямой. Решение. Перпендикуляр всегда короче наклонной: 6 см < 10 см, разница 4 см. Расстоянием от точки до прямой служит длина перпендикуляра. Ответ: наклонная больше на 4 см; расстояние = 6 см.

Задача 2. Дано: прямые a и b параллельны; из точки M прямой a опущен перпендикуляр на b, равный 5 см. Найти: расстояние от любой другой точки прямой a до прямой b. Решение. Все точки прямой a равноудалены от b. Значит, расстояние всюду одинаково. Ответ: 5 см.

Задача 3. Дано: из точки A к прямой проведён перпендикуляр AH и наклонная AM, ∠AMH = 30°, AH = 4 см. Найти: длину наклонной AM. Решение. Треугольник AHM прямоугольный (∠H = 90°). Катет AH лежит против угла ∠AMH = 30°. Катет против угла 30° равен половине гипотенузы: AH = ½·AM. Значит, AM = 2·AH = 2·4 = 8 см. Ответ: 8 см.

Задача 4. Дано: точка A удалена от прямой a на 3 см. На прямой a отмечена точка M так, что AM = 6 см. Найти: угол между наклонной AM и прямой a. Решение. AH = 3 см — перпендикуляр (расстояние), AM = 6 см — наклонная (гипотенуза). Замечаем: AH = ½·AM (3 = ½·6). Значит, катет равен половине гипотенузы, и угол против этого катета равен 30°. Против AH лежит угол при вершине M, то есть угол между наклонной AM и прямой a равен 30°. Ответ: 30°.

Задача 5. Дано: параллельные прямые a и b, расстояние между ними 7 см. Точка C лежит на прямой a. Найти: длину наклонной из C к прямой b, если эта наклонная образует с перпендикуляром угол 60°. Решение. Перпендикуляр CH = 7 см (расстояние). Наклонная CM образует с перпендикуляром угол 60°, значит в прямоугольном треугольнике CHM (∠H = 90°) угол при C равен 60°, а угол при M равен 30°. Катет CH лежит против угла M = 30°, значит CH = ½·CM, отсюда CM = 2·7 = 14 см. Ответ: 14 см.

Задача 6. Дано: две параллельные прямые. Из точки A одной прямой опущен перпендикуляр AH на вторую прямую и проведена наклонная AB, причём AH = 5 см, AB = 13 см. Найти: сравни AB с расстоянием между прямыми и определи, какой отрезок выражает расстояние. Решение. Расстояние между прямыми — это длина перпендикуляра AH = 5 см. Наклонная AB = 13 см длиннее. Ответ: расстояние между прямыми = 5 см; наклонная (13 см) длиннее перпендикуляра.

💡 Запомни главное

Из точки к прямой можно провести один перпендикуляр и сколько угодно наклонных.
Перпендикуляр короче любой наклонной (он катет, наклонная — гипотенуза).
Расстояние от точки до прямой = длина перпендикуляра.
Параллельные прямые везде на одинаковом расстоянии. Это расстояние — перпендикуляр от точки одной прямой до другой.

📝 Домашнее задание

Из точки проведены к прямой перпендикуляр 8 см и наклонная 9 см. Какой отрезок выражает расстояние от точки до прямой?
Может ли наклонная быть короче перпендикуляра, проведённых из одной точки к одной прямой? Объясни.
Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 4 см. Чему равно расстояние от произвольной точки прямой b до прямой a?
Из точки A к прямой проведены перпендикуляр AH и наклонная AM, ∠AMH = 30°, AM = 12 см. Найди AH.
Точка удалена от прямой на 5 см. Найди длину наклонной, проведённой из этой точки под углом 30° к прямой.
Прямые a и b параллельны. Из точки прямой a опущен перпендикуляр на b длиной 6 см. Чему равны перпендикуляры, опущенные из всех остальных точек прямой a?
Точка M лежит внутри угла. Что выражает расстояние от M до стороны угла?
⭐ Точка A удалена от прямой a на 9 см. Из A проведена наклонная AM длиной 18 см. Найди угол между наклонной AM и перпендикуляром AH.