Урок 25. Построение треугольника по трём элементам

Геометрия, 7 класс · Гл. IV, §4 · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что значит «построить» фигуру циркулем и линейкой — и почему это не то же самое, что начертить «на глазок».
• Как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.
• Как построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам.
• Как построить треугольник по трём сторонам.

📖 Разбираемся в теме

Раньше ты чертил треугольники просто так — поставил три точки, соединил. Но настоящая геометрия — это про построения по правилам. Инструментов всего два, и они строгие.

📐 Договорённость: В задачах на построение разрешены только циркуль (проводить окружности и откладывать отрезки) и линейка без делений (проводить прямые). Никаких измерений линейкой и транспортиром в самом построении — только эти два «честных» инструмента.

Звучит как игра с ограничениями? Так и есть! И именно поэтому это интересно. Заметь: три признака равенства треугольников (помнишь — по двум сторонам и углу, по стороне и двум углам, по трём сторонам?) подсказывают, какими тремя данными треугольник определяется однозначно. А раз однозначно — значит, его можно построить. Разберём все три случая.

Понадобится один кирпичик, который нужен почти везде.

💡 Лайфхак: как отложить угол, равный данному. Чтобы «скопировать» угол циркулем: проводим в данном угле дугу, пересекающую обе стороны; такой же дугой отмечаем на новом луче; циркулем переносим «раствор» между точками пересечения. Готово — угол скопирован без транспортира.

Построение 1. По двум сторонам и углу между ними

Задача. Даны два отрезка (будущие стороны) и угол. Построить треугольник, у которого две стороны равны данным отрезкам, а угол между ними равен данному.

Пошагово:

1. Откладываем угол, равный данному, — получаем луч-вершину с двумя сторонами (вершина A).
2. На одной стороне угла циркулем откладываем первый отрезок: получаем точку B (AB = первой стороне).
3. На другой стороне угла откладываем второй отрезок: получаем точку C (AC = второй стороне).
4. Соединяем B и C линейкой.

Треугольник ABC построен.

Построение 2. По стороне и двум прилежащим углам

Задача. Даны отрезок (будущая сторона) и два угла. Построить треугольник, у которого одна сторона равна данному отрезку, а прилежащие к ней углы равны данным.

Пошагово:

1. Чертим отрезок BC, равный данной стороне (откладываем циркулем на прямой).
2. От луча BC при вершине B откладываем угол, равный первому данному углу.
3. От луча CB при вершине C откладываем угол, равный второму данному углу.
4. Точка пересечения двух новых лучей — вершина A.

Треугольник ABC построен.

⚠️ Частая ошибка: Сумма двух данных углов должна быть меньше 180° — иначе лучи не пересекутся и треугольника не получится. Если в сумме ровно 180° — лучи параллельны; если больше — расходятся «в другую сторону».

Построение 3. По трём сторонам

Задача. Даны три отрезка. Построить треугольник, стороны которого равны этим отрезкам.

Это самое красивое построение — тут работает циркуль как «измеритель расстояния».

Пошагово:

1. Чертим прямую и откладываем на ней первый отрезок: получаем сторону BC (B и C — концы).
2. Раствором циркуля, равным второму отрезку, проводим окружность с центром в B.
3. Раствором циркуля, равным третьему отрезку, проводим окружность с центром в C.
4. Точка пересечения окружностей — вершина A. Соединяем её с B и C.

📌 Важное условие (неравенство треугольника): Построение по трём сторонам получится только если каждая сторона меньше суммы двух других. Иначе окружности не пересекутся, и треугольника не будет. Например, из отрезков 2, 3 и 10 треугольник не построить: 2 + 3 < 10.

⏱ Построй сам: возьми три отрезка 5 см, 6 см и 8 см и построй по ним треугольник циркулем и линейкой. Проверь линейкой стороны — должны совпасть.

🤔 А знаешь ли ты? Древние греки обожали задачи «только циркулем и линейкой». Некоторые из них (например, разделить любой угол на три равные части) оказались невозможными — но это доказали лишь спустя две тысячи лет! А вот треугольник по трём сторонам построить можно всегда (если неравенство треугольника выполнено).

✍️ Разбор задач

Задача 1. Дано: отрезки 4 см и 5 см и угол 60°. Построить: треугольник по двум сторонам и углу между ними. Решение. 1) Откладываем угол 60° с вершиной A. 2) На одной стороне циркулем откладываем 4 см (точка B). 3) На другой — 5 см (точка C). 4) Соединяем B и C. Ответ: треугольник ABC построен; ∠A = 60°, AB = 4 см, AC = 5 см.

Задача 2. Дано: отрезок 6 см и два угла 40° и 70°. Построить: треугольник по стороне и двум прилежащим углам. Решение. 1) Чертим BC = 6 см. 2) При B откладываем угол 40°. 3) При C откладываем угол 70°. 4) Пересечение лучей — вершина A. Проверка: 40° + 70° = 110° < 180° — построение возможно. Ответ: треугольник построен; третий угол равен 180° − 110° = 70°.

Задача 3. Дано: отрезки 3 см, 4 см, 6 см. Построить: треугольник по трём сторонам. Решение. Проверим неравенство: 3 + 4 = 7 > 6, 3 + 6 > 4, 4 + 6 > 3 — всё хорошо.

1. Откладываем BC = 6 см. 2) Окружность радиуса 4 см с центром B. 3) Окружность радиуса 3 см с центром C. 4) Пересечение — вершина A. Ответ: треугольник построен.

Задача 4. Дано: отрезки 2 см, 3 см, 9 см. Найти: можно ли построить треугольник по трём сторонам. Решение. Проверим: 2 + 3 = 5, а это меньше 9. Неравенство треугольника нарушено. Ответ: нельзя — окружности не пересекутся.

Задача 5. Дано: требуется построить равносторонний треугольник со стороной 5 см. Построить. Решение. Это частный случай «по трём сторонам», где все три стороны равны.

1. Откладываем BC = 5 см. 2) Окружность радиуса 5 см с центром B. 3) Окружность радиуса 5 см с центром C. 4) Пересечение — вершина A. Все стороны равны 5 см. Ответ: равносторонний треугольник построен.

Задача 6. Дано: нужно построить прямоугольный треугольник по двум катетам 3 см и 4 см. Построить. Решение. Прямой угол строим как угол между двумя сторонами (его можно построить, восставив перпендикуляр).

1. Чертим луч и восставляем к нему перпендикуляр в точке C — получаем прямой угол. 2) На одной стороне откладываем 3 см (точка A), на другой 4 см (точка B). 3) Соединяем A и B (гипотенуза). Ответ: прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см построен (это случай «по двум сторонам и углу между ними», угол = 90°).

💡 Запомни главное

• Построение — это только циркуль и линейка без делений, без измерений в процессе.
• По двум сторонам и углу между ними: строим угол → откладываем стороны → соединяем концы.
• По стороне и двум прилежащим углам: чертим сторону → откладываем оба угла → вершина на пересечении лучей. (Сумма углов < 180°.)
• По трём сторонам: откладываем одну сторону → две окружности-радиусы → вершина на пересечении. (Каждая сторона меньше суммы двух других.)

📝 Домашнее задание

1. Какими двумя инструментами разрешено пользоваться в задачах на построение?
2. Опиши по шагам построение треугольника по сторонам 5 см, 5 см и углу 50° между ними.
3. Построй треугольник по стороне 7 см и прилежащим углам 30° и 60°. Какой угол получится третьим?
4. Можно ли построить треугольник со сторонами 4 см, 4 см, 9 см? Ответ обоснуй.
5. Построй равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковыми сторонами 6 см (по трём сторонам).
6. При построении по стороне и двум прилежащим углам даны углы 100° и 85°. Получится ли треугольник? Почему?
7. Построй равносторонний треугольник со стороной 4 см. Сколько у него осей симметрии?
8. ⭐ Построй прямоугольный треугольник по гипотенузе 6 см и острому углу 30°. (Подсказка: построй гипотенузу, при одном её конце отложи угол 30°, а при другом — прямой угол; вершины соединятся.)