Урок 26. Итоговое повторение за 7 класс

Геометрия, 7 класс · Повторение всего курса · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

Соберёшь всю геометрию 7 класса в одну компактную «карту» — справочник, к которому удобно возвращаться.
Освежишь ключевые определения и теоремы: углы, признаки равенства треугольников, равнобедренный треугольник, параллельные прямые, сумма углов, прямоугольные треугольники, построения.
Потренируешься на задачах по каждой теме — чтобы войти в 8 класс уверенно.

📖 Разбираемся в теме

Поздравляю — ты прошёл весь курс геометрии 7 класса! Давай разложим всё по полочкам. Этот урок — твой личный мини-справочник. Перечитай его перед контрольной, и многое встанет на места.

Карта тем

ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАССА
├─ 1. Начала: точки, прямые, отрезки, лучи, углы
├─ 2. Измерения: длина отрезка, градусная мера угла
├─ 3. Смежные и вертикальные углы; перпендикуляр
├─ 4. Треугольники и три признака их равенства
├─ 5. Равнобедренный треугольник
├─ 6. Параллельные прямые и их признаки
├─ 7. Сумма углов треугольника; внешний угол
└─ 8. Прямоугольные треугольники, расстояния, построения

Тема 1. Углы

📐 Определения: Смежные углы — у которых одна сторона общая, а две другие образуют прямую. Вертикальные — образованы при пересечении двух прямых и лежат «напротив».

📏 Теоремы: Сумма смежных углов = 180°. Вертикальные углы равны. Биссектриса делит угол пополам.

Тема 2. Признаки равенства треугольников

📌 Три признака:

По двум сторонам и углу между ними.

По стороне и двум прилежащим к ней углам.

По трём сторонам.

Равные треугольники полностью совпадают при наложении: у них равны все стороны и все углы.

Тема 3. Равнобедренный треугольник

📐 Определение: Равнобедренный — у которого две стороны (боковые) равны. Третья — основание.

📏 Свойства: Углы при основании равны. Биссектриса, проведённая к основанию из вершины, является заодно медианой и высотой (три в одном).

📌 Признак: Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Тема 4. Параллельные прямые

📐 Определение: Две прямые на плоскости параллельны, если не пересекаются.

📌 Признаки параллельности (при пересечении двух прямых секущей): прямые параллельны, если равны накрест лежащие углы, ИЛИ равны соответственные углы, ИЛИ сумма односторонних углов равна 180°.

📏 Обратные свойства: Если прямые параллельны, то накрест лежащие равны, соответственные равны, односторонние в сумме дают 180°.

Тема 5. Сумма углов треугольника

📏 Теорема: Сумма углов любого треугольника равна 180°.

📌 Внешний угол: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

💡 Лайфхак: Знаешь два угла треугольника — третий находишь как 180° минус их сумма. Самая частая операция всего курса!

Тема 6. Прямоугольные треугольники

📐 Определение: Один угол 90°. Стороны при нём — катеты, против него — гипотенуза (самая длинная).

📏 Свойства: Сумма острых углов = 90°. Катет против угла 30° = половине гипотенузы (и обратно).

📌 Признаки равенства: по двум катетам; по катету и острому углу; по гипотенузе и острому углу; по гипотенузе и катету.

Тема 7. Расстояния и построения

📐 Расстояние от точки до прямой = длина перпендикуляра (он короче любой наклонной). Параллельные прямые везде на одинаковом расстоянии.

📌 Построения циркулем и линейкой: треугольник по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим углам; по трём сторонам.

Рис. 1. Любой треугольник: ∠A + ∠B + ∠C = 180°

🤔 А знаешь ли ты? Почти всё, что ты выучил в 7 классе, придумали ещё до нашей эры — и собрал в книгу «Начала» математик Евклид около 300 г. до н. э. Эта книга была учебником геометрии больше двух тысяч лет!

✍️ Разбор задач

Задача 1. (Углы) Дано: один из смежных углов на 40° больше другого. Найти: оба угла. Решение. x + (x + 40°) = 180°, 2x = 140°, x = 70°. Второй: 110°. Ответ: 70° и 110°.

Задача 2. (Сумма углов) Дано: в треугольнике углы относятся как 1 : 2 : 3. Найти: углы. Решение. x + 2x + 3x = 180°, 6x = 180°, x = 30°. Углы: 30°, 60°, 90°. Ответ: 30°, 60°, 90° (треугольник прямоугольный).

Задача 3. (Равнобедренный) Дано: в равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найти: углы при основании. Решение. На два равных угла при основании приходится 180° − 40° = 140°, значит каждый по 70°. Ответ: по 70°.

Задача 4. (Параллельные) Дано: две параллельные прямые пересечены секущей; один из односторонних углов равен 110°. Найти: второй односторонний угол. Решение. Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна 180°. Второй = 180° − 110° = 70°. Ответ: 70°.

Задача 5. (Прямоугольный) Дано: прямоугольный треугольник, ∠C = 90°, ∠A = 30°, гипотенуза AB = 20 см. Найти: катет CB. Решение. CB лежит против угла A = 30°, значит CB = ½·AB = ½·20 = 10 см. Ответ: 10 см.

Задача 6. (Внешний угол) Дано: внешний угол треугольника равен 120°, один из не смежных с ним внутренних углов равен 45°. Найти: второй не смежный внутренний угол. Решение. Внешний угол = сумме двух не смежных внутренних: 120° = 45° + x, x = 75°. Ответ: 75°.

Задача 7. (Расстояние) Дано: из точки к прямой проведены перпендикуляр AH = 5 см и наклонная AM, ∠AMH = 30°. Найти: длину наклонной AM. Решение. Катет AH против угла 30°, значит AH = ½·AM, отсюда AM = 2·5 = 10 см. Ответ: 10 см.

💡 Запомни главное

Смежные = 180°, вертикальные равны.
Три признака равенства треугольников; для прямоугольных — четыре своих.
Равнобедренный: углы при основании равны; биссектриса к основанию = медиана = высота.
Параллельные: накрест лежащие равны, соответственные равны, односторонние = 180°.
Сумма углов треугольника = 180°; внешний угол = сумме двух не смежных.
Прямоугольный: острые в сумме 90°; катет против 30° = пол-гипотенузы.
Расстояние от точки до прямой = перпендикуляр.

📝 Домашнее задание

(Углы) Один из смежных углов в 4 раза меньше другого. Найди оба угла.
(Углы) Вертикальные углы в сумме (два из четырёх, лежащие напротив) … найди все четыре угла, если один из них 50°.
(Признаки равенства) В треугольниках ABC и A₁B₁C₁: AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, AC = A₁C₁. По какому признаку они равны?
(Сумма углов) Два угла треугольника равны 55° и 65°. Найди третий угол.
(Равнобедренный) В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 50°. Найди угол при вершине.
(Параллельные) При пересечении параллельных прямых секущей один из накрест лежащих углов равен 73°. Найди второй.
(Внешний угол) Внешний угол при вершине треугольника равен 130°. Найди смежный с ним внутренний угол.
(Прямоугольный) В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 54°. Найди второй.
(Прямоугольный) Гипотенуза равна 16 см, острый угол 30°. Найди катет против этого угла.
(Расстояние) Расстояние между параллельными прямыми равно 6 см. Чему равен перпендикуляр, опущенный из любой точки одной прямой на другую?
(Построение) Опиши по шагам, как построить треугольник по трём сторонам 4 см, 5 см, 7 см. Возможно ли это построение?
⭐ (Комбинированная) В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена биссектриса CD прямого угла. Найди углы ∠ACD и ∠BCD, а также углы треугольника BCD, если ∠B = 50°.