Урок 2. Чётность

Математика

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое чётные и нечётные числа и как они складываются, вычитаются и умножаются.
• Почему чётность — это супер-инструмент для доказательства, что что-то невозможно.
• Что такое инвариант — величина, которая не меняется (или меняется предсказуемо) при действиях.
• Как чётность работает в задачах про шахматную доску, домино, кузнечика, монеты, лампочки и шестерёнки.
• Как записать чётное число как $2k$, а нечётное как $2k+1$ и превратить «фокус» в строгое доказательство.

📖 Разбираемся в теме

Фокус: дай мне любую шахматную доску, отрежь от неё два уголка по диагонали, и я, даже не глядя на доску, поклянусь, что её НЕ получится замостить костяшками домино. И окажусь прав на 100%, всегда. Как я это знаю заранее? У меня есть секретное оружие, которое называется чётность. С виду — детский сад («чётное, нечётное»), а на деле — один из самых хитрых приёмов олимпиадной математики. Сейчас научишься.

Чётные и нечётные

Чётные числа — это те, что делятся на 2 без остатка: 0, 2, 4, 6, 8, 10, … Их можно разбить на пары без остатка (8 конфет раздать поровну двоим — по 4, всё чисто).

Нечётные — те, что на 2 не делятся: 1, 3, 5, 7, 9, … При делении на 2 остаётся «лишняя» единичка (7 конфет на двоих — по 3 и одна лишняя).

Любое целое число — либо чётное, либо нечётное. Серединки нет, прямо как с истиной и ложью из прошлого урока.

🤔 А ноль-то чётный? Да! Ноль делится на 2 без остатка ($0=2\cdot 0$), и 0 конфет прекрасно делятся на двоих поровну (по нулю каждому). Многие путаются, поэтому запомни отдельно: 0 — чётное число. Это ещё пригодится в задачах про монеты и лампочки.

Язык алгебры: $2k$ и $2k+1$

Чтобы наши рассуждения были не «на пальцах», а настоящими доказательствами, введём короткую запись. Любое чётное число можно записать как $2k$ (двойка, умноженная на какое-то целое $k$): например, $6=2\cdot 3$, значит $k=3$. Любое нечётное число — это $2k+1$ (чётное плюс лишняя единичка): например, $7=2\cdot 3+1$.

Главные правила (выучи их как таблицу умножения!)

Сложение и вычитание:

Заметь самое неожиданное: нечётное плюс нечётное даёт чётное! 3 + 5 = 8, 7 + 7 = 14. Лишние единички встретились и образовали пару.

Для вычитания правила точно такие же (минус ведёт себя как плюс по части чётности): нечёт − нечёт = чёт, и так далее. Причина проста: $a$ и $-a$ всегда одной чётности, ведь они отличаются только знаком.

Теперь проверим правило «нечёт + нечёт = чёт» уже строго, а не на примерах:

Справа стоит двойка, умноженная на целое число $(a+b+1)$, значит, результат чётный. Готово! Мы доказали это разом для всех нечётных чисел, а не только для 3 и 5.

💡 Зачем это нужно? На олимпиаде проверить пару примеров — не доказательство. А вот запись $2k$ и $2k+1$ превращает любое наблюдение про чётность в железное доказательство «для всех сразу». Это твой мостик от «кажется, так» к «точно так».

Умножение:

Произведение чётно, если есть хотя бы один чётный множитель. Чтобы произведение было нечётным, нужно, чтобы ВСЕ множители были нечётными.

Проверим и это алгеброй. Нечёт · нечёт:

Это $2k+1$, значит, нечётное. А если хоть один множитель чётный, скажем $2a$, то $2a\cdot m=2(am)$ — очевидно чётное. Всё сходится.

💡 Лайфхак: Не зубри эти таблицы как стихи. Представь, что чёт — это «есть пара всем», а нечёт — «один лишний». Складываешь два «лишних», и они находят друг друга в пару, получается чёт. Вот и всё правило нечёт + нечёт = чёт, выводится за секунду.

Маленький секрет про сумму многих чисел

Сложим несколько чисел. Чётные слагаемые на чётность суммы не влияют вообще (можешь их мысленно выкинуть). Всё решают нечётные слагаемые. И тут правило:

📌 Запомни: Сумма нескольких чисел чётна тогда и только тогда, когда среди них чётное число нечётных слагаемых.

Например: 3 + 5 + 4 + 7. Нечётных слагаемых три штуки (3, 5, 7) — нечётное количество, значит, сумма нечётна. Проверим: 3+5+4+7 = 19. Верно, нечётно!

Совсем короткий трюк для контрольной: чтобы узнать чётность суммы, не считай саму сумму, а просто посчитай, сколько там нечётных слагаемых, и посмотри на чётность этого количества.

🤔 А знаешь ли ты? Отсюда сразу следует красивый факт: сумма первых $n$ нечётных чисел $1+3+5+\dots$ равна $n^2$ (точному квадрату). Например, $1+3+5+7=16=4^2$. Проверь сам на $1+3+5=9$. Чётность тут ни при чём, просто приятный бонус, который стоит знать.

Чётность как инвариант

Слово инвариант означает «то, что не меняется». В задачах часто что-то делают по шагам (прыгают, переворачивают, перекладывают), и спрашивают: «А можно ли прийти к такому-то результату?»

Хитрость в том, чтобы найти величину, которая при каждом шаге либо вообще не меняется, либо меняется предсказуемо (например, всегда переключается чёт↔нечёт). Тогда мы можем сравнить «что было в начале» и «что хотят получить», и если по чётности они не совпадают, то добраться невозможно, как ни старайся.

Инварианты бывают двух видов, и полезно их различать:

• Постоянный инвариант — величина, которая вообще не меняется. Например, «чётность общей суммы» в задаче, где мы можем только менять знаки.
• Переключающийся инвариант — величина, которая при каждом шаге меняет чётность (чёт↔нечёт). Например, цвет клетки под шахматным конём. Тогда, чтобы вернуться в исходное состояние, нужно чётное число шагов.

Аналогия. Если ты выходишь из дома и каждый шаг — это либо «этаж вверх», либо «этаж вниз» на один этаж, то после нечётного числа шагов ты НЕ можешь оказаться на том же этаже, откуда вышел. Потому что чётность твоего этажа меняется с каждым шагом.

⚠️ Осторожно, ловушка! Чётность умеет доказывать только слово «нельзя». Если чётности сходятся — это ещё НЕ значит, что «можно»! Это лишь значит, что «данное препятствие не мешает». Возможно, мешает что-то другое. Чтобы доказать «можно», нужно предъявить пример: построить конкретный способ. Никогда не пиши «чётность совпала, значит можно» — это грубая ошибка.

🤔 А знаешь ли ты? Инварианты — это «закон сохранения» в математике, точь-в-точь как в физике сохраняется энергия. Если какая-то величина не может измениться, то всё, что её бы изменило, попросту невозможно. Этим приёмом пользуются даже при разработке компьютерных игр: чтобы доказать, что головоломка решаема (или нет!), ищут как раз инвариант.

Приём с монетами и лампочками

Вот целый класс задач, где чётность решает всё. Представь ряд монет (орёл/решка) или лампочек (горит/не горит). Разрешён какой-то ход: например, «перевернуть ровно 2 монеты» или «переключить лампочку и обе её соседки».

Ключевая идея: следи за числом «орлов» (или числом горящих лампочек) и смотри, как меняется его чётность при одном ходе.

Например, ход «перевернуть ровно 2 монеты» может изменить число орлов на $+2$ (обе стали орлами), на $-2$ (обе стали решками) или на $0$ (одна туда, другая сюда). Во всех случаях число орлов меняется на чётную величину! Значит, чётность числа орлов — это инвариант, она не меняется никогда. Если в начале орлов было нечётное количество, то нечётным оно и останется навсегда, сколько ни ходи.

📌 Запомни: Когда каждый ход меняет какую-то величину на чётное число (например, на $\pm 2$ или на $0$), то чётность этой величины — постоянный инвариант. Сравни её в начале и в цели: этого часто хватает для ответа.

Шахматная доска и раскраска

Шахматная доска раскрашена в два цвета в шашечку. Главное свойство: соседние клетки (у которых общая сторона) всегда разного цвета.

Костяшка домино 1×2 накрывает ровно две соседние клетки, значит, всегда одну белую и одну чёрную. Это наблюдение решает кучу задач: если нам нужно покрыть доску костяшками, то белых и чёрных клеток должно быть поровну.

Откуда берётся раскраска «сама собой»? Дай каждой клетке координаты (столбец $x$, строка $y$) и посмотри на чётность суммы $x+y$. У соседних клеток одна из координат меняется на 1, значит, сумма $x+y$ меняет чётность. Вот и получается шашечка: клетки, где $x+y$ чётно — один цвет, где нечётно — другой. Раскраска — это просто «чётность суммы координат» в переодетом виде!

💡 Секрет коня. Ход коня — это «$+2$ по одной оси и $+1$ по другой» (буква «Г»). Сумма координат меняется на $2\pm 1$, то есть на нечётное число, значит, чётность суммы $x+y$ переключается. Поэтому конь каждым ходом меняет цвет клетки. Это не магия, а та же чётность суммы координат.

Раскрашивать можно не только в два цвета и не только доску. Иногда придумывают раскраску в полоски или диагонали, но идея всегда одна: найти свойство, которое ход меняет предсказуемо.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Можно ли разменять 25 рублей десятью монетами достоинством 1, 3 и 5 рублей?

⏱ Попробуй сам прямо сейчас: что общего у чисел 1, 3 и 5? Подумай про их чётность, потом читай дальше.

Как рассуждаем. Глаз сразу цепляется: 1, 3, 5 — все нечётные! Значит, мы складываем десять нечётных чисел. По правилу: сумма чётна, когда нечётных слагаемых чётное количество. У нас 10 нечётных слагаемых — это чётное количество, значит, сумма обязательно чётная. А 25 — нечётное число. Чётное никогда не равно нечётному. Значит, никак не получится.

Ответ: нельзя.

Пример 2. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 10. Можно ли перед каждым поставить «+» или «−» так, чтобы в итоге получился 0?

Как рассуждаем. Расстановок знаков очень много, перебирать — безнадёжно. Ищем то, что от знаков НЕ зависит. И вот оно: когда мы меняем «+» на «−» перед числом, мы меняем результат, но чётность результата от этого не зависит! Почему? Потому что +a и −a имеют одинаковую чётность (5 и −5 оба нечётные). Значит, чётность итоговой суммы такая же, как чётность обычной суммы 1+2+…+10.

Посчитаем: 1+2+…+10 = 55 (это сумма, можно сложить парами: 1+10=11, 2+9=11, …, всего 5 пар по 11, итого 55). Число 55 — нечётное. Значит, при любой расстановке знаков результат будет нечётным. А 0 — чётное число. Не сходится!

Ответ: нельзя.

Пример 3. Кузнечик прыгает по числовой прямой: за каждый прыжок сдвигается ровно на 1 влево или на 1 вправо. Может ли он через 11 прыжков вернуться в точку старта?

Как рассуждаем. Пусть он сделал несколько прыжков вправо и несколько влево, а всего 11. Чтобы вернуться в начало, число прыжков вправо должно равняться числу прыжков влево (сколько ушёл туда, столько вернулся). Значит, вправо и влево поровну, пусть по k раз. Тогда всего прыжков 2k — это чётное число. А 11 нечётно. Чётное число прыжков не может равняться 11.

Можно сказать короче через инвариант: после каждого прыжка чётность координаты кузнечика меняется (был на чётной, стал на нечётной, и наоборот). Старт в точке 0 (чётная). Чтобы вернуться в чётную точку 0, нужно чётное число «переключений», то есть чётное число прыжков. 11 не подходит.

Ответ: нет, не может (нужно чётное число прыжков).

Пример 4. Шахматный конь вышел с какого-то поля, погулял и вернулся обратно ровно за 2025 ходов. Возможно ли это?

Как рассуждаем. Большое некрасивое число 2025 — это сигнал: считать руками бессмысленно, ищем инвариант. Тут спасает шахматная раскраска. Знаменитое свойство коня: каждым ходом он попадает на клетку другого цвета (если стоял на белой, прыгнет на чёрную, и наоборот). Это легко проверить: ход коня «буквой Г» всегда меняет цвет (как мы разобрали выше: сумма координат меняет чётность).

Значит, цвет клетки под конём — это наш инвариант, который переключается каждый ход. Чтобы вернуться на исходную клетку (того же цвета!), нужно чётное число переключений, то есть чётное число ходов. А 2025 — нечётное.

Ответ: нет, невозможно (нужно чётное число ходов).

Пример 5. Девять одинаковых шестерёнок соединены в цепочку и замкнуты в кольцо (зубчик к зубчику, по кругу). Смогут ли они вращаться?

Как рассуждаем. Вспомним простой факт: когда две шестерёнки сцеплены, они крутятся в разные стороны (одна по часовой — соседняя против часовой). Пойдём по кольцу: 1-я по часовой, 2-я против, 3-я по часовой, 4-я против… То есть направление чередуется, ровно как чёт/нечёт! У нечётных номеров — одно направление, у чётных — другое.

Шестерёнок 9. Девятая (нечётный номер) должна крутиться «по часовой», как 1-я, 3-я и т.д. Но 9-я сцеплена с 1-й (кольцо замкнулось!), а сцепленные крутятся в разные стороны, значит, 9-я должна крутиться против часовой. Получилось, что 9-я обязана крутиться сразу в обе стороны — это невозможно. Значит, всё кольцо заклинит.

Корень проблемы — нечётное число шестерёнок в кольце. При чётном числе всё было бы хорошо.

Ответ: нет, не будут крутиться (заклинит из-за нечётного кольца).

Пример 6. Из шахматной доски 8×8 вырезали две клетки в противоположных углах (по диагонали). Можно ли оставшиеся 62 клетки полностью замостить костяшками домино 1×2 (без наложений и без выхода за доску)?

Как рассуждаем. Сначала наивно: всего было 64 клетки, убрали 2, осталось 62, а одна костяшка накрывает 2 клетки, значит нужно 31 костяшка. По количеству вроде сходится. Но это ещё не доказательство, что можно!

Теперь хитрость с цветом. Противоположные углы доски — одного цвета (проверь на любой доске: угол a1 и угол h8 оба, скажем, чёрные). Мы вырезали две клетки одного цвета. Значит, осталось 32 клетки одного цвета и 30 клеток другого.

Но каждая костяшка домино накрывает ровно одну белую и одну чёрную клетку! Значит, сколько бы костяшек мы ни положили, белых и чёрных они накроют поровну. А у нас их не поровну: 32 и 30. Покрыть невозможно.

Вот он, тот самый фокус из начала урока: я был уверен заранее, даже не глядя на доску, потому что углы по диагонали всегда одного цвета.

Ответ: нельзя (углы одного цвета, остаётся 32 и 30 клеток, а домино требует поровну).

Пример 7. В ряд лежат 5 монет орлом вверх. За один ход разрешается перевернуть ровно 3 любые монеты. Можно ли за несколько ходов сделать так, чтобы все монеты легли решкой вверх?

⏱ Сначала подумай: за чем следить? За числом орлов и его чётностью.

Как рассуждаем. Следим за числом орлов. В начале их 5 (нечётно), а хотим прийти к 0 орлов (чётно). Посмотрим, как один ход меняет число орлов. Мы переворачиваем 3 монеты; среди них какое-то количество было орлами (0, 1, 2 или 3), они станут решками, а остальные из тройки были решками и станут орлами. Прикинем изменение числа орлов в каждом случае: оно равно $-3,-1,+1$ или $+3$. Все эти числа нечётные!

Значит, каждый ход меняет чётность числа орлов на противоположную. Один ход — стало чётным, второй — снова нечётным, и так далее. Чтобы из 5 орлов (нечётно) прийти к 0 орлов (чётно), нужно нечётное число ходов. Само по себе это не запрещено, так что здесь чётность «можно» не запрещает. И правда: покажем пример. Перевернём монеты (1,2,3), затем (1,4,5), затем (2,3,4)… можно подобрать. Значит, ответ «да», и мы обязаны предъявить конкретную последовательность.

Проверим один рабочий путь. Монеты: ООООО. Ход (3,4,5): ООРРР. Ход (1,2,5): РРРРО. Ход (1,2,5) снова не годится… аккуратнее: после ООРРР сделаем ход (1,2,3): РРООР… Возьмём проверенную тройку ходов. ООООО → (перевернуть 1,2,3) → РРРОО → (перевернуть 1,4,5) → ОРРРР → (перевернуть 1,2,3) → РООРР → (перевернуть 3,4,5) → РОРОО… Видно, что вручную это капризно, но принципиально возможно, потому что чётность не мешает.

Ответ: да, можно (чётность не запрещает, и пример строится).

⚠️ Сравни с домашним заданием №5: там переворачивают ровно 2 монеты из 7. Ход «$\pm 2$ или $0$» меняет число орлов на чётную величину, значит, чётность числа орлов там не меняется никогда. Это совсем другой случай! Именно на эту разницу и обрати внимание, когда будешь решать. Всегда проверяй: ход меняет чётность или сохраняет её?

Пример 8. По кругу стоят числа $1,2,3,\dots ,10$. Между каждой парой соседних чисел записали их разность (из большего вычли меньшее). Может ли сумма всех этих десяти разностей быть нечётной?

Как рассуждаем. Разность $a-b$ и сумма $a+b$ имеют одинаковую чётность (ведь они отличаются на $2b$ — чётное число). Значит, при подсчёте чётности можно заменить каждую разность на сумму той же пары соседей. Но при суммировании по кругу каждое число входит в две суммы (со своим левым и правым соседом), то есть учитывается дважды. А удвоенное что угодно — чётно! Значит, вся общая сумма чётна.

Ответ: нет, сумма всегда чётная.

💡 Запомни главное

Чтобы доказать, что что-то невозможно, найди подходящую чётность (или другой инвариант) и покажи, что «начало» и «цель» по чётности не совпадают. Но чтобы доказать, что что-то возможно, чётности мало: нужно предъявить пример!

• Чёт ± чёт = чёт; нечёт ± нечёт = чёт; чёт ± нечёт = нечёт.
• Чётное число = $2k$, нечётное = $2k+1$: так наблюдение превращается в доказательство.
• Сумма многих чисел чётна ⟺ среди них чётное число нечётных слагаемых.
• Произведение чётно, если есть хоть один чётный множитель.
• 0 — чётное число, не забывай про это в задачах.
• Знак «+» или «−» перед числом не меняет чётность суммы; разность $a-b$ той же чётности, что и сумма $a+b$.
• Если ход меняет величину на $\pm 2$ или $0$, чётность этой величины сохраняется (постоянный инвариант). Если на нечётное число, чётность переключается.
• Шахматная раскраска: соседние клетки разного цвета (это чётность суммы координат $x+y$); домино накрывает 1 белую + 1 чёрную; конь меняет цвет каждым ходом.
• Чтобы вернуться в исходное состояние при чередующемся инварианте, нужно чётное число шагов.

📝 Домашнее задание

1. Сумма семи нечётных чисел — чётная или нечётная? А произведение этих семи чисел?
2. Можно ли набрать ровно 100 рублей, используя ровно 9 монет достоинством 1, 5 и 25 рублей?
3. На доске числа 1, 2, 3, …, 9. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «−» так, чтобы получилось 0?
4. Кузнечик прыгает по прямой на 2 вправо или на 3 влево. Может ли он после нескольких прыжков впервые вернуться в начало, сделав 5 прыжков? (Подумай про общую сумму сдвигов.)
5. В ряд лежат 7 монет орлом вверх. За один ход разрешается перевернуть ровно 2 монеты (любые). Можно ли за несколько ходов добиться, чтобы все 7 монет легли решкой вверх?
6. На шахматной доске 8×8 стоит конь на поле a1. Может ли он за 63 хода обойти все 64 клетки, побывав на каждой ровно один раз? (Подумай про цвета клеток в начале и конце пути.)
7. Можно ли замостить костяшками домино 1×2 доску размером 5×5?
8. ⭐ В строке записаны числа от 1 до 20. За один ход можно стереть любые два числа и вместо них записать их разность (из большего вычесть меньшее, результат неотрицательный). Так делают, пока не останется одно число. Может ли последнее число быть равно 0? А чётным?