Урок 2. Комбинаторика вероятностей

Вероятность и парадоксы · ~35 минут

Чтобы посчитать вероятность, нужно уметь считать исходы. А исходов бывает много — миллионы и миллиарды. Перебирать их руками невозможно, поэтому нам понадобится комбинаторика: искусство считать, не перечисляя.

🎯 Что ты узнаешь

Правило произведения — как считать составные выборы.
Перестановки и сочетания C(n,k).
Как перемножать вероятности независимых событий.
Мощный приём «хотя бы один» через противоположное событие.

📖 Разбираемся в теме

Правило произведения

Если первый выбор можно сделать m способами, а второй (независимо) — n способами, то вместе их можно сделать m · n способами.

Пример: в кафе 3 первых блюда и 4 вторых. Обед из первого и второго можно составить 3 · 4 = 12 способами.

Бросок двух кубиков даёт 6 · 6 = 36 равновозможных исходов.

Перестановки

Перестановка — способ расставить n различных предметов по порядку. Их число:

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n.$$

Например, 3! = 6: три книги можно расставить на полке 6 способами. По определению 0! = 1.

Сочетания

Часто порядок не важен — важно только, какие предметы выбрали. Число способов выбрать k предметов из n (без учёта порядка) — это число сочетаний:

$$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!,(n-k)!}.$$

Пример: сколькими способами выбрать 2 дежурных из 5 учеников?

$$C_5^2 = \frac{5!}{2!,3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10.$$

🤔 А знаешь ли ты? C(n,k) = C(n, n−k). Выбрать, кого взять, — то же самое, что выбрать, кого не взять. Поэтому C(5,2) = C(5,3) = 10.

Независимые события: умножаем вероятности

Два события независимы, если исход одного не влияет на другой (два разных кубика, две монеты). Для независимых событий:

$$P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B).$$

Пример: вероятность выбросить два орла подряд:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.$$

⚠️ Умножать вероятности можно только для независимых событий. Если достаём два шара без возврата, второй выбор зависит от первого — там уже нельзя просто перемножать одинаковые дроби.

Приём «хотя бы один»

Считать «хотя бы один» напрямую тяжело: это «один, или два, или три...». Зато противоположное — «ни одного» — считается легко и часто через произведение:

$$P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{ни одного}).$$

📌 Запомни: увидел(а) слова «хотя бы один» — сразу думай про дополнение «ни одного».

✍️ Разбор примера

Пример 1. Бросают два кубика. Какова вероятность, что сумма очков равна 7?

Всего исходов: 6 · 6 = 36. Сумму 7 дают пары: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — ровно 6 штук.

$$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167.$$

Пример 2. Монету бросают 3 раза. Какова вероятность, что выпадет хотя бы один орёл?

Проще через дополнение. «Ни одного орла» = «три решки подряд»:

$$P(\text{три решки}) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}.$$

Тогда

$$P(\text{хотя бы один орёл}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \approx 0{,}875.$$

📝 Задачи

Сколькими способами можно расставить на полке 4 разные книги?
Вычисли C(6,2) и C(6,4). Что замечаешь?
В классе 10 человек. Сколькими способами выбрать из них команду из 3 человек (порядок не важен)?
Бросают два кубика. Какова вероятность, что выпадут два одинаковых числа (дубль)?
Монету бросают 4 раза. Какова вероятность, что выпадет хотя бы один орёл?
Из колоды 36 карт наугад берут одну. Какова вероятность, что это дама или король? (Дам 4, королей 4.)
Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет 3 раза (выстрелы независимы). Какова вероятность, что он промахнётся хотя бы раз?
В коробке 4 белых и 6 чёрных шаров. Наугад (без возврата) достают два шара. Какова вероятность, что оба белые? (Подсказка: используй сочетания — C(4,2) / C(10,2).)