Урок 3. Парадокс дней рождения

Вероятность и парадоксы

Представь класс из 23 человек. Спорим, что у кого-то из них совпадают дни рождения? Интуиция кричит: «Да ну, 23 человека против 365 дней — какое там совпадение!» А математика отвечает: вероятность больше 50%. Это один из самых знаменитых парадоксов теории вероятностей — и сейчас мы его разоблачим.

🎯 Что ты узнаешь

Почему совпадений больше, чем кажется.
Как считать «хотя бы одно совпадение» через дополнение.
Как вероятность растёт с числом людей.

📖 Разбираемся в теме

В чём подвох интуиции

Мозг подсознательно спрашивает: «Какова вероятность, что кто-то родился в мой день рождения?» Это редко. Но настоящий вопрос другой: «Какова вероятность, что хоть у какой-то пары из всех совпадают дни рождения?»

А пар в группе очень много! В группе из 23 человек число пар:

C_{23}^{2} = \frac{23 \cdot 22}{2} = 253.

253 пары — и каждая может «выстрелить» совпадением. Вот откуда берётся высокая вероятность.

🤔 А знаешь ли ты? Этот парадокс используют в криптографии — «атака дней рождения» помогает находить коллизии хеш-функций гораздо быстрее, чем кажется на первый взгляд.

Считаем через дополнение

Считать «хотя бы одно совпадение» напрямую очень сложно. Идём через противоположное событие — «все дни рождения разные».

Будем считать, что в году 365 дней и все дни равновероятны. Заводим людей по одному:

1-й человек — любой день, вероятность «не совпасть ни с кем» = 365/365.
2-й должен попасть в один из оставшихся 364 дней: 364/365.
3-й — в один из 363 свободных дней: 363/365.
...
k-й — в один из 365 − (k−1) дней.

Перемножаем (события независимы при таком подсчёте):

P (все разные) = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \dots \frac{365 - ( k - 1 )}{365} .

А нужная нам вероятность:

P (совпадение) = 1 - P (все разные) .

Что получается для 23 человек

Перемножив дроби от 365/365 до 343/365 (это 23 множителя), получаем:

P (все разные) \approx 0, 4927.

Значит,

P (совпадение) \approx 1 - 0, 4927 = 0, 5073 \approx 50, 7%.

Больше половины! Уже в группе из 23 человек ставка «есть совпадение» выигрышная.

📌 Запомни: «хотя бы одно совпадение» = 1 − P(все различны). Это ключ ко всему парадоксу.

Как растёт вероятность

Число людей	P(совпадение)
5	≈ 2,7%
10	≈ 11,7%
20	≈ 41,1%
23	≈ 50,7%
30	≈ 70,6%
50	≈ 97,0%
60	≈ 99,4%
70	≈ 99,9%

Уже при 60 людях совпадение практически гарантировано. А чтобы дойти до 100%, нужно… 366 человек (по принципу Дирихле: 365 дней на 366 людей — кто-то обязательно совпадёт).

💡 Обрати внимание: рост сначала медленный, потом резко ускоряется около 20–30 человек, а после — почти выходит на «плато» у единицы.

✍️ Разбор примера

Задача. Посчитаем вероятность совпадения для группы из 4 человек.

P(все разные):

\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \frac{362}{365} .

Считаем шаг за шагом:

364/365 ≈ 0,99726
× 363/365 ≈ 0,99726 · 0,99452 ≈ 0,99180
× 362/365 ≈ 0,99180 · 0,99178 ≈ 0,98364

Значит P(все разные) ≈ 0,9836, и

P (совпадение) \approx 1 - 0, 9836 = 0, 0164 \approx 1, 6%.

Для четырёх человек совпадение маловероятно — но с ростом группы дроби быстро «съедают» вероятность.

📝 Задачи

Сколько пар можно составить в группе из 10 человек? (Используй C(10,2).)
По формуле через дополнение запиши выражение для P(все дни разные) для 3 человек и вычисли P(совпадение).
На вечеринке 30 человек. По таблице выше: какова вероятность, что есть совпадение дней рождения?
Сколько человек нужно, чтобы совпадение стало достоверным (вероятность ровно 1)? Объясни через принцип Дирихле.
В классе 20 человек. Что вероятнее: что есть совпадение или что все дни разные? (Опирайся на таблицу.)
Представь «неделю» из 7 дней: у семи гномов дни недели рождения независимы и равновероятны. Какова вероятность, что все семь родились в разные дни недели? (Подсказка: 7!/7^7.)
Почему вопрос «совпадает ли чей-то день рождения с моим» даёт гораздо меньшую вероятность, чем «есть ли вообще какое-то совпадение в группе»? Объясни словами.