Урок 4. Парадокс Монти Холла

Вероятность и парадоксы · ~35 минут

Телешоу. Перед тобой три двери. За одной — автомобиль, за двумя другими — козы. Ты выбираешь дверь. Ведущий (он знает, где машина) открывает одну из оставшихся дверей — там коза. И спрашивает: «Хочешь поменять свой выбор на другую закрытую дверь?» Менять или нет? Этот вопрос когда-то расколол математическое сообщество и довёл до споров сотни профессоров. Правильный ответ: менять. И это не 50/50.

🎯 Что ты узнаешь

• Почему смена двери даёт вероятность выигрыша 2/3, а не 1/2.
• Как ведущий «передаёт» тебе информацию, открывая дверь.
• Как убедиться в ответе полным перебором.

📖 Разбираемся в теме

Условия задачи (важно каждое слово!)

1. Машина спрятана случайно за одной из трёх дверей.
2. Ты выбираешь дверь, но не открываешь её.
3. Ведущий знает, где машина, и всегда открывает дверь с козой — не ту, что ты выбрал.
4. Затем предлагает поменять выбор на вторую закрытую дверь.

⚠️ Ключевое: ведущий открывает козу не случайно. Он специально избегает и твоей двери, и машины. Именно это делает задачу парадоксальной. Если бы он открывал наугад — задача была бы другой.

Разбор: почему 2/3

Посмотри на момент первого выбора. Вероятность, что ты сразу угадал(а) машину:

$$P(\text{угадал сразу}) = \frac{1}{3}.$$

Вероятность, что машина за одной из двух других дверей:

$$P(\text{не угадал}) = \frac{2}{3}.$$

Теперь ведущий открывает козу за одной из тех двух дверей. Вся вероятность 2/3 «схлопывается» на единственную оставшуюся закрытую дверь.

• Если не менять — выигрываешь только когда угадал сразу: 1/3.
• Если менять — выигрываешь когда сразу не угадал: 2/3.

📌 Запомни: смена двери выигрывает ровно тогда, когда первый выбор был неверным. А первый выбор неверен с вероятностью 2/3.

Полный перебор

Пусть машина за дверью 1 (остальные случаи симметричны). Ты выбираешь каждую из дверей с вероятностью 1/3. Смотрим стратегию «всегда менять»:

Из трёх равновозможных случаев смена даёт машину в двух. Значит P(выигрыш при смене) = 2/3. А без смены — наоборот, 1/3.

Наглядное объяснение: сто дверей

Представь 100 дверей. За одной машина. Ты тыкаешь в дверь №1 (шанс угадать 1/100). Ведущий открывает 98 других дверей — везде козы — и оставляет закрытой одну, скажем, №57.

Что вероятнее: что ты угадал(а) с первого тыка (1/100), или что машина за той единственной дверью, которую ведущий «пощадил» (99/100)? Конечно, менять! Ведущий фактически показал тебе, где приз.

💡 Чем больше дверей, тем очевиднее выгода смены. С тремя дверями разница (1/3 против 2/3) просто менее заметна интуитивно.

✍️ Разбор примера

Задача. Ты играешь по стратегии «всегда меняю дверь» 300 раз. Сколько машин ты выиграешь в среднем?

Вероятность выигрыша при смене = 2/3. Ожидаемое число выигрышей:

$$300 \cdot \frac{2}{3} = 200.$$

Для сравнения, стратегия «никогда не меняю» дала бы в среднем 300 · 1/3 = 100 машин. Смена двери — вдвое выгоднее.

Ответ: около 200 машин.

📝 Задачи

1. Какова вероятность выиграть машину, если ты никогда не меняешь дверь?
2. Какова вероятность выиграть, если ты всегда меняешь дверь?
3. Игрок сыграл по стратегии «всегда меняю» 90 раз. Сколько машин он выиграет в среднем?
4. Объясни своими словами, почему после того, как ведущий открыл козу, шансы не становятся 50/50.
5. Пусть дверей 4. За одной машина. Ты выбираешь одну, ведущий открывает одну дверь с козой (из трёх оставшихся) и предлагает поменять на любую из двух оставшихся закрытых. Какова вероятность, что машина за конкретной из этих двух? (Подсказка: у тебя изначально 1/4; оставшиеся 3/4 делятся на две закрытые двери.)
6. В варианте со 100 дверьми: ты выбрал(а) дверь, ведущий открыл 98 коз. Какова вероятность выиграть, если поменяешь?
7. Почему для парадокса критически важно, что ведущий знает, где машина, и специально открывает козу? Что было бы, если бы он открывал дверь наугад и там случайно оказалась коза?