Урок 5. Матожидание и честные игры

Вероятность и парадоксы · ~35 минут

Казино всегда в выигрыше. Лотерейный билет почти всегда убыточен. И это не потому что «не повезло» — это математика, зашитая в правила игры. Инструмент, который всё объясняет, называется математическое ожидание. С ним ты научишься видеть, выгодна игра или нет, ещё до того, как в неё сыграешь.

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое математическое ожидание (средний выигрыш).
• Как отличить честную игру от нечестной.
• Почему казино и лотереи всегда в плюсе.

📖 Разбираемся в теме

Что такое матожидание

Представь игру с несколькими исходами. У каждого исхода — своя вероятность и свой выигрыш (может быть и отрицательный — проигрыш). Математическое ожидание — это средний выигрыш, если играть очень-очень много раз.

Если возможны выигрыши x₁, x₂, …, xₙ с вероятностями p₁, p₂, …, pₙ, то

$$E = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n.$$

Каждый выигрыш умножаем на его вероятность и всё складываем.

💡 Матожидание — это не тот результат, который выпадет в одной игре. Это среднее по многим играм. За один раз выпадет что-то конкретное, но в среднем игрок получит именно E за партию.

Пример: бросок кубика

Сколько очков выпадет на кубике «в среднем»? Все шесть исходов равновероятны (по 1/6):

$$E = 1\cdot\tfrac16 + 2\cdot\tfrac16 + 3\cdot\tfrac16 + 4\cdot\tfrac16 + 5\cdot\tfrac16 + 6\cdot\tfrac16 = \frac{21}{6} = 3{,}5.$$

Интересно: значение 3,5 на кубике выпасть не может! Но среднее по многим броскам стремится именно к 3,5.

Честная и нечестная игра

Пусть за участие в игре ты платишь взнос. Смотри на чистый результат = выигрыш минус взнос.

• Честная игра: матожидание чистого результата E = 0. В среднем ни в плюсе, ни в минусе.
• Выгодная игроку: E > 0.
• Невыгодная (нечестная к игроку): E < 0.

📌 Запомни: игра честная, когда справедливая цена участия равна матожиданию выигрыша. Если с тебя берут больше — игра против тебя.

Почему казино всегда выигрывает

Возьмём рулетку (европейская, 37 секторов: числа 0–36). Ставишь 1 монету на конкретное число. Если угадал — получаешь 36 монет (то есть чистый выигрыш +35), если нет — теряешь свою 1 монету.

$$E = (+35)\cdot\frac{1}{37} + (-1)\cdot\frac{36}{37} = \frac{35 - 36}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0{,}027.$$

В среднем игрок теряет около 2,7 копейки с каждой поставленной монеты. Один сектор — «зеро» — это и есть преимущество казино. Играй хоть миллион раз: чем больше играешь, тем надёжнее ты в минусе.

🤔 А знаешь ли ты? В американской рулетке два зеро (0 и 00), всего 38 секторов. Матожидание там ещё хуже для игрока: примерно −2/38 ≈ −0,053, то есть −5,3%.

Почему лотерея убыточна

Организатор лотереи собирает деньги с билетов и часть оставляет себе. Поэтому призовой фонд всегда меньше собранной суммы. Значит, средний выигрыш на билет меньше его цены — матожидание чистого результата отрицательное. Лотерея — это «налог на надежду»: изредка кто-то срывает джекпот, но в среднем каждый билет убыточен.

⚠️ Отрицательное матожидание не значит, что ты обязательно проиграешь в одной игре. Можно и выиграть! Но чем дольше играешь, тем ближе твой средний результат к отрицательному E. Об этом — в следующем уроке (закон больших чисел).

✍️ Разбор примера

Задача. Игра: бросаешь кубик. Если выпало 6 — получаешь 30 рублей. Иначе — ничего. Участие стоит 4 рубля. Выгодна ли игра?

Выигрыш (без учёта взноса): 30 руб. с вероятностью 1/6, и 0 руб. с вероятностью 5/6.

$$E_{\text{выигрыш}} = 30\cdot\frac16 + 0\cdot\frac56 = 5 \text{ руб.}$$

Справедливая цена участия — 5 рублей. С тебя берут только 4. Значит чистое матожидание:

$$E_{\text{чист}} = 5 - 4 = +1 \text{ руб.}$$

E > 0 — игра выгодна игроку! В среднем ты зарабатываешь 1 рубль за партию. (Редкий случай, когда стоит играть.)

Ответ: выгодна, ожидаемая прибыль +1 руб. за игру.

📝 Задачи

1. Найди матожидание числа очков при броске монеты, если орёл = 1 очко, решка = 0 очков.
2. Лотерея: билет стоит 100 руб. С вероятностью 1/50 выигрыш 3000 руб., иначе — ничего. Найди матожидание чистого результата. Выгодна ли лотерея игроку?
3. Игра: бросаешь кубик, получаешь столько рублей, сколько выпало очков. Сколько справедливо заплатить за участие, чтобы игра была честной?
4. В рулетке ты ставишь 1 монету на «красное» (18 красных секторов из 37). При выигрыше получаешь чистыми +1 монету, при проигрыше теряешь 1. Найди матожидание. В чью пользу игра?
5. Игра: подбрасываешь две монеты. За два орла платят 10 руб., иначе ничего. Сколько стоит справедливое участие?
6. В игре с вероятностью 0,3 выигрываешь 20 руб., с вероятностью 0,7 теряешь 10 руб. Найди матожидание. Стоит ли играть?
7. Придумай выигрыш за событие «выпала 6 на кубике» так, чтобы игра со взносом 2 рубля стала честной (E = 0). (Выигрыш получаешь только при шестёрке.)