Урок 1. Множества

Вероятность и статистика, 7 класс · Введение. Множества · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

Что такое множество и из чего оно состоит
Как записывать множества математическим языком (значки ∈, ∉, ⊂)
Что такое пустое множество и подмножество
Как находить пересечение и объединение множеств
Как рисовать круги Эйлера-Венна — и сразу видеть ответ глазами

📖 Разбираемся в теме

Представь свой шкаф. На одной полке — футболки, на другой — носки, на третьей — учебники (ну ладно, учебники где-то под кроватью). Каждая полка — это набор похожих вещей, собранных вместе. Поздравляю: ты только что подумал про множества и даже не вспотел.

📌 Запомни: Множество — это совокупность каких-то объектов, собранных вместе. Сами объекты называются элементами множества.

Множества обозначают большими латинскими буквами, а их элементы перечисляют в фигурных скобках { }.

Например, множество дней недели:

$$D = {\text{Пн}, \text{Вт}, \text{Ср}, \text{Чт}, \text{Пт}, \text{Сб}, \text{Вс}}$$

Множество гласных букв в слове «математика»:

$$A = {\text{а}, \text{е}, \text{и}}$$

Заметил хитрость? В слове «математика» буква «а» встречается три раза, но в множестве мы пишем её один раз. Множеству всё равно, сколько раз ты повторишь элемент — он там либо есть, либо нет.

⚠️ Частая ошибка: записывать {а, а, а, е, и}. В множестве каждый элемент учитывается только один раз, и порядок не важен: {а, е, и} и {и, а, е} — одно и то же множество.

Значки «принадлежит» и «не принадлежит»

Чтобы не писать каждый раз «элемент входит в множество», математики придумали короткие значки.

∈ читается «принадлежит» (элемент входит в множество).
∉ читается «не принадлежит».

Если $A = {\text{а}, \text{е}, \text{и}}$, то:

$\text{а} \in A$ (буква «а» принадлежит множеству A — да, она там есть)
$\text{о} \notin A$ (буквы «о» в множестве нет)

💡 Лайфхак: значок ∈ похож на букву «Э» от слова «Элемент». Запомнил — и больше не путаешь, в какую сторону он смотрит.

Пустое множество

А бывает множество, в котором вообще нет ни одного элемента! Например, множество учеников твоего класса ростом выше 3 метров. Таких нет (надеюсь). Это пустое множество.

📌 Запомни: Пустое множество не содержит ни одного элемента. Обозначается значком ∅ (или пустыми скобками { }).

⏱ Попробуй сам: придумай ещё одно пустое множество из жизни. (Например, «месяцы, в которых 35 дней».)

Подмножество

Возьмём множество всех учеников твоего класса — назовём его $K$. А внутри него можно выделить множество девочек — назовём его $G$. Каждая девочка из $G$ точно есть и в $K$. Значит, $G$ — это часть множества $K$, или, по-научному, подмножество.

📌 Запомни: Множество $G$ называется подмножеством множества $K$, если каждый элемент $G$ является элементом $K$. Записывают: $G \subset K$ (читается «G является подмножеством K»).

Рис. 1. Множество девочек — подмножество класса

Пересечение и объединение

А теперь самое интересное. Представь два кружка по интересам: футбол и шахматы.

Множество $F$ — те, кто ходит на футбол.
Множество $Sh$ — те, кто ходит на шахматы.

Есть ребята, которые ходят и туда, и туда (умники и спортсмены одновременно). А есть те, кто ходит хотя бы в один из кружков.

Пересечение ($\cap$) — это элементы, которые есть в обоих множествах сразу.

📌 Запомни: Пересечение $A \cap B$ — множество элементов, принадлежащих и $A$, и $B$ одновременно. Значок ∩ похож на крышу — «общая крыша для обоих».

Объединение ($\cup$) — это все элементы из обоих множеств вместе (если кто-то есть в обоих, считаем его один раз).

📌 Запомни: Объединение $A \cup B$ — множество элементов, принадлежащих $A$ или $B$ (хотя бы одному из них). Значок ∪ — как чашка, в которую ссыпали всё вместе.

Эти отношения удобно рисовать кругами Эйлера-Венна: каждое множество — круг, а пересечение — область, где круги налезают друг на друга.

Рис. 2. Круги Эйлера-Венна: пересечение — область «оба»

🤔 А знаешь ли ты? Эти кружочки придумал английский логик Джон Венн ещё в 1880 году, а до него похожие рисунки использовал великий математик Леонард Эйлер. Поэтому их и называют двойным именем — Эйлера-Венна.

⏱ Попробуй сам: $A = {1, 2, 3, 4}$, $B = {3, 4, 5, 6}$. Чему равно $A \cap B$? А $A \cup B$?

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Дано множество $M = {2, 4, 6, 8}$. Верно ли, что: а) $4 \in M$; б) $5 \in M$; в) $8 \notin M$?

Решение.

а) Число 4 есть в множестве → $4 \in M$ — верно.
б) Числа 5 в множестве нет → $5 \in M$ — неверно (правильно $5 \notin M$).
в) Число 8 есть в множестве → $8 \notin M$ — неверно (правильно $8 \in M$).

Пример 2. Выпиши все элементы множества букв в слове «колокол».

Решение. В слове встречаются буквы: к, о, л, о, к, о, л. Убираем повторы и записываем каждую один раз:

$$B = {\text{к}, \text{о}, \text{л}}$$

В множестве 3 элемента.

Пример 3. $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$, $B = {2, 4, 6}$. Является ли $B$ подмножеством $A$?

Решение. Проверяем каждый элемент $B$: число 2 есть в $A$ ✓, число 4 есть в $A$ ✓, число 6 есть в $A$ ✓. Все элементы $B$ принадлежат $A$, значит, $B \subset A$ — да, является.

Пример 4. $X = {\text{кот}, \text{пёс}, \text{хомяк}}$, $Y = {\text{пёс}, \text{хомяк}, \text{попугай}}$. Найди $X \cap Y$.

Решение. Пересечение — то, что есть и там, и там. Общие элементы: пёс и хомяк.

$$X \cap Y = {\text{пёс}, \text{хомяк}}$$

Пример 5. Для тех же множеств найди $X \cup Y$.

Решение. Объединение — всё вместе, повторы считаем один раз. Из $X$: кот, пёс, хомяк. Добавляем из $Y$ то, чего ещё нет: попугай.

$$X \cup Y = {\text{кот}, \text{пёс}, \text{хомяк}, \text{попугай}}$$

В объединении 4 элемента.

Пример 6. В классе 30 человек. Английский учат 18, немецкий — 15, а оба языка — 6 человек. Сколько человек учат хотя бы один язык? Нарисуй круги Эйлера.

Решение. В пересечении (оба языка) — 6 человек. Тогда:

только английский: $18 - 6 = 12$
только немецкий: $15 - 6 = 9$
хотя бы один язык: $12 + 6 + 9 = 27$ человек.

Рис. 3. Кто какой язык учит

💡 Запомни главное

Множество — набор объектов (элементов), записывается в { }; порядок и повторы не важны.
∈ — принадлежит, ∉ — не принадлежит.
∅ — пустое множество, в нём нет элементов.
$A \subset B$ — $A$ подмножество $B$ (все элементы $A$ есть в $B$).
Пересечение $A \cap B$ — что есть в обоих сразу («крыша»).
Объединение $A \cup B$ — всё вместе («чашка»).
Круги Эйлера-Венна помогают увидеть всё это глазами.

📝 Домашнее задание

Запиши множество всех чётных чисел от 1 до 10.
Выпиши элементы множества букв в слове «барабан». Сколько их?
Дано $A = {3, 6, 9, 12}$. Верно или нет: а) $6 \in A$; б) $7 \in A$; в) $12 \notin A$?
Приведи свой пример пустого множества.
$P = {1, 2, 3, 4, 5}$, $Q = {2, 4}$. Является ли $Q$ подмножеством $P$? Запиши значком.
$A = {5, 10, 15, 20}$, $B = {10, 20, 30}$. Найди $A \cap B$.
Для тех же множеств найди $A \cup B$. Сколько в нём элементов?
В команде 20 ребят. Плавают 12, бегают 9, и тем, и другим занимаются 4. Сколько ребят занимаются хотя бы одним видом спорта?
⭐ В классе 25 человек. У 14 есть кошка, у 11 — собака, а у 5 — и кошка, и собака. Сколько ребят: а) только с кошкой; б) только с собакой; в) вообще без питомцев? Нарисуй круги Эйлера.