Урок 23. Частота случайного события

Вероятность и статистика, 7 класс · Вероятность случайного события · ~45 минут

🎯 Что ты узнаешь

• Что такое частота случайного события и как её посчитать.
• Что такое относительная частота (в долях и процентах).
• Почему при большом числе опытов частота «успокаивается» и перестаёт скакать.
• Как это связано с вероятностью (главный секрет урока).

📖 Разбираемся в теме

Брось монету 10 раз. Сколько раз выпадет орёл? «Ну, 5», — скажешь ты. Бросаешь… а выпало 7! Странно? Вовсе нет. А вот если бросить монету 10 000 раз — орлов будет почти ровно половина. Сейчас разберёмся, почему так происходит.

Частота события

Сделали опыт много раз (например, 50 бросков). Какое-то событие произошло несколько раз. Так вот:

Частота события = сколько раз событие произошло.

Бросили монету 50 раз, орёл выпал 23 раза → частота события «орёл» равна 23.

Просто счётчик: щёлк, щёлк, щёлк — сколько раз случилось.

Относительная частота

Само число «23» мало о чём говорит, пока не знаешь, из скольких бросков. Поэтому считают относительную частоту — какую долю всех опытов занимает событие:

📌 Запомни: относительная частота = (сколько раз событие произошло) ÷ (число опытов).

Для нашего примера: 23 ÷ 50 = 0,46. То есть орёл выпадал в 0,46 всех бросков, или в 46%.

💡 Лайфхак: чтобы перевести долю в проценты, умножь на 100. 0,46 → 46%. А обратно — раздели на 100: 35% → 0,35.

Относительная частота — всегда число от 0 до 1 (или от 0% до 100%): меньше 0 «сколько раз случилось» быть не может, а больше числа опытов — тоже.

⏱ Попробуй сам. Кубик бросили 20 раз, шестёрка выпала 4 раза. Чему равна относительная частота события «выпало 6»? (Дели 4 на 20.)

Почему частота «успокаивается»

А теперь — самое удивительное. Представь, что школьники бросали монету и записывали, как меняется относительная частота орла.

Смотри: сначала частота скачет (0,70, потом 0,46, потом 0,54), а чем больше бросков — тем ближе она к 0,5 и тем спокойнее себя ведёт. Будто притягивается к какому-то числу.

Это число и называют вероятностью события. У честной монеты вероятность орла равна 0,5.

📌 Запомни (закон устойчивости частот): при большом числе опытов относительная частота события приближается к его вероятности.

⚠️ Частая ошибка: думать, что «раз выпало 3 решки подряд, теперь точно будет орёл». Монета не помнит прошлого! У каждого нового броска орёл и решка по-прежнему равновозможны. Закон работает только на большом числе бросков, а не «выравнивает» каждые несколько штук.

🤔 А знаешь ли ты? Математик Карл Пирсон однажды подбросил монету 24 000 раз и насчитал 12 012 орлов — относительная частота 0,5005, почти ровно половина! Вот это терпение.

✍️ Разбор примеров

Пример 1. Монету бросили 80 раз, решка выпала 36 раз. Найди относительную частоту решки. Решение. 36 ÷ 80 = 0,45. Ответ: 0,45 (то есть 45%).

Пример 2. Кубик бросили 60 раз, число 6 выпало 9 раз. Какова относительная частота «выпало 6»? Переведи в проценты. Решение. 9 ÷ 60 = 0,15. В процентах: 0,15 × 100 = 15%. Ответ: 0,15, или 15%.

Пример 3. В классе провели 200 бросков кнопки. Острием вверх она упала 130 раз. Найди относительную частоту этого события. Решение. 130 ÷ 200 = 0,65. Ответ: 0,65 (65%).

Пример 4. Стрелок сделал 40 выстрелов и попал в цель 34 раза. Какова относительная частота попадания? Решение. 34 ÷ 40 = 0,85. Ответ: 0,85, или 85%.

Пример 5. Относительная частота события равна 0,2, а опытов было 150. Сколько раз событие произошло? Решение. «Сколько раз» = относительная частота × число опытов = 0,2 × 150 = 30. Ответ: 30 раз.

Пример 6. В таблице из урока относительная частота при 1000 бросках равна 0,497, а при 5000 — 0,5006. К какому числу приближается частота и как это число называют? Решение. С ростом числа бросков частота подходит всё ближе к 0,5. Это число — вероятность выпадения орла. Ответ: к 0,5; это вероятность орла.

💡 Запомни главное

• Частота события — сколько раз оно произошло.
• Относительная частота = (сколько произошло) ÷ (число опытов); это число от 0 до 1 (или в %).
• При большом числе опытов относительная частота приближается к вероятности события (закон устойчивости частот).
• Монета и кубик «не помнят» прошлые броски — выравнивание работает только на больших числах.

📝 Домашнее задание

1. Монету бросили 100 раз, орёл выпал 53 раза. Найди относительную частоту орла.
2. Кубик бросили 50 раз, число 1 выпало 7 раз. Найди относительную частоту (в долях и в %).
3. Баскетболист сделал 25 бросков и попал 18 раз. Какова относительная частота попадания?
4. Относительная частота события 0,4, число опытов 200. Сколько раз событие произошло?
5. Из 500 лампочек бракованными оказались 15. Найди относительную частоту брака в процентах.
6. Монету бросали группами и считали относительную частоту орла: 10 бросков — 0,8; 100 бросков — 0,57; 1000 бросков — 0,508. К какому числу приближается частота?
7. Кубик бросили 30 раз, чётное число выпало 12 раз. Найди относительную частоту чётного.
8. ⭐ Девочка бросила монету 6 раз и получила 6 орлов подряд. Она говорит: «Теперь точно выпадет решка!» Права ли она? Объясни.